一维光子晶体光学性质的一种简化分析方法

罗 杰 须 萍 高 雷

(苏州大学物理科学与技术学院,江苏苏州 215006)

近年来,光子晶体是光子学与光学工程研究中的热门课题,因为其拥有可以如人所愿地控制光子的运动的特点,而光子器件的研究和发展直接影响光通讯业的发展,所以对光子晶体的研究是有价值的.光子晶体是在1987年由John和Yablonovitch提出来的[1,2]一类在光学尺度上折射率周期性变化的人工设计和制造的晶体,与半导体晶格对电子波函数的调制相类似,光子晶体能够调制具有相应波长的电磁波,其重要特性是光子带隙和光子局域化的现象.其中光子局域效应是电子局域化的光子学模拟.

一维光子晶体在结构上最为简单,实验上易于制备,传统的多层膜就可以看作一维光子晶体.对于一维光子晶体,其内部存在着前进波与后退波的强烈的干涉作用,导致了其内部存在光子局域效应,如果光强局域在光学活性物质中,活性物质的光学效应将会得到增强,这是因为光的绝大部分能量集中的发生局域的地方,光与物质之间的相互作用主要在这里发生,而光强是局域在晶体内何处,则要考虑到整体结构与组成晶体的介质的性质.

研究一维光子晶体的理论方法主要有传输矩阵法[3,4]、时域有限差分法[5]和平面波展开法[6]等.但这些方法都是从电动力学基本观点出发,侧重于复杂的数值计算,而不能以一种直观的方式帮助我们理解光子晶体的基本光学性质,我们往往要通过大量的数值计算结果对比来总结出一些光子晶体的重要性质,而本文将基于光学中的一些基本概念和规律,来讨论一维光子晶体中各介质层对入射光的作用,进而以一种直观的方式来对一维光子晶体光学性质做出分析,这就使得我们能够以光学中的一些简单、容易理解的概念和规律来解释电动力学中的这一复杂的前沿问题,本文提出的分析方法浅显易懂,因而有助于我们直观地理解数值计算中的一些重要结果.

本文第1部分通过光学中的基本规律解释了单一介质层对光的作用,第2部分基于第1部分的结论讨论了两种典型结构的一维光子晶体(A/B)和(A/B)/C(B/A)＾m的光学性质,并基于这些讨论分析了(A/B)/(C/D)＾m型结构的光学性质,在前两种光子晶体中,A、B、C都为均匀、线性且各向同性的无损耗的电介质,A、B的光学厚度取的光学厚度取其中 λ0为中心波长.本文所考虑的都是正入射而且光子晶体的处于真空中的情形.

1 理论基础

1.1 单一介质层与基质间反射、干涉性质.

图1

图2

表1 单一介质层与基质间反射、干涉性质

如果介质层两侧基质的折射率不同时大于或小于该介质层的折射率,通过与上面类似的分析方法可以得到表1.

1.2 单一介质层内的多次反射、干涉性质

对于一个处于基质中的单一介质层,除了介质层与基质间的反射、干涉现象外,在介质层的内部还存在着反射与干涉现象.

当一介质层两侧基质的折射率同时大于或小于该介质的折射率,且该介质层的光学厚度取时,如图2所示,介质层 C中入射光i先后经界面2、1反射回到介质 C中,对于中心波长,光 i′与入射光i在界面 2处相位相差2π或4π(介质层的折射率大于两侧基质折射率时,在界面1和2处反射都存在半波损失),即前进波与内反射前进波干涉相长,这时该介质层对于中心波长可以看作是增透层;当介质层的光学厚度取时,对于中心波长,该介质层中光 i′与入射光i在界面2处的相位相差 π或3π,这时该介质层对于中心波长可以看作是增反层.

如果介质层两侧的基质的折射率不同时大于或小于该层的折射率,通过与上面类似的分析方法可以得到表2.

表2 单一介质层内的多次反射、干涉性质

通过表1和表2的对比可以发现,当一个单一介质层的光学厚度不变,且所处环境与入射光的波长一定,则该介质层与基质间的反射、干涉作用就与其内部的反射、干涉作用相同.

根据干涉理论,当通过介质层的光的波长远离中心波长时,原先的增反层会随着波长的远离逐步转化为增透层,如果波长继续远离,增透层又会转化为增反层,实际上,特定介质层对光的作用效果会随着入射光波长相对中心波长的远离而发生周期性变化.

2 光子晶体

2.1 (A/B)＾n型光子晶体

2.1.1 禁带

在该晶体中,除了其最外侧的两介质层外,对于中心波长,其他的介质层均可以看作是增反层,而最外侧的介质层会因为基质的不同而等效成不同的情形,由于边界层层数相对中心层层数少得多,因而可以忽略边界层的影响,因此(A/B)＾n型光子晶体可以看作是由周期性增反层叠加而成,进而等效简化为单一的特殊的增反层,其特殊之处在于该结构能够对中心波长以及其邻域内的一段波长的光都起着强烈的增反作用,形成以中心波长为中心的透射禁带,但随着入射光波长相对中心波长的远离,增反作用减弱,而增透作用逐渐变强,随着波长的继续远离,介质层的等效作用将发生周期性改变,形成多级禁带.

2.1.2 通带

随着入射波长相对中心波长的远离,光在各介质层中的光程将发生变化,介质层的增反作用将较小,并逐渐起到增透作用,形成透射通带,与禁带类似,存在着多级通带.

各级通带频率中心分别为2kω0(k=1,2,3,…),因为这时晶体内各介质层才能够起到增透层的作用.

总的来说,(A/B)＾n结构的光子晶体可以看作是一个单一的特殊的增反层,其特殊之处在于该等效增反层对以特定波长为中心的一段波长的光都可以起到近乎100%的增反作用,形成透射禁带,而一般的增反层只能对于某一特定的波长起到近乎100%的增反作用.禁带的主要影响因素是调节参数 φ、重复数 n以及中心波长λ0.

2.2 (A/B)＾n/C(B/A)＾m 型光子晶体

该结构相比于结构(A/B)＾n,相当于多了一个缺陷层C.从透射曲线图3可以看出,该结构同样存在着透射禁带与通带,这个是由缺陷层 C两侧的等效增反层产生的,因而禁带与通带的性质主要由两侧的等效增反层决定.由于缺陷层C的存在,中心波长处的入射光有很高的透射率.缺陷层C的光学厚度为,且其两侧的相邻介质相同,所以,对于中心波长,该缺陷层起到了增透的作用,该结构可以看作是“等效增反层/增透层/等效增反层”的类似法布里-珀罗共振腔的结构,使得图3所示的透射曲线中心波长处存在透射尖峰;同时该结构能够使得光多次通过缺陷层,并在缺陷层的边界处干涉相长,最终光强在缺陷层及其两侧相邻的介质中有很强的局域,这一点从图4中可以看出.

因为禁带的主要性质取决于两侧的等效增反层的性质,而这正是2.1所讨论的,下面将主要讨论禁带中中心波长处透射尖峰的性质.

图3

图4

2.2.1 重复数n和m

在该结构中,一般取 n=m,因为这样,中心缺陷层处于几何中心位置,可以使得光能够尽量多次地通过中心增透层,从而使其增透作用增强,透射尖峰变高,局域效应也同时变强.

文献[7]通过传输矩阵法给出了精确的数学证明,发现当n=m 时,该结构可由“等效增反层/增透层/等效增反层”结构进一步等效简化为一般的单一的介质层,这样消除了晶体内的内反射,当不考虑介质的吸收时,该结构在中心波长处的透射率可以达到100%,如果n≠m,对称性将被破坏,则该结构只能看作是至少两种介质的组合,则必定存在一定的内反射,中心波长的透射率将会减少.另外,文献[7]还利用有效界面法证明了这一结论.

2.2.2 缺陷层的光学厚度

值得注意的是,缺陷层的光学厚度的改变基本不影响该结构的禁带的宽度,这是因为禁带是由缺陷层两侧的等效增反层产生的.

图5

2.2.3 介质的吸收

介质的吸收导致透射尖峰高度的下降,介质的吸收系数过大可能使得晶体的光学性质不满足实际应用的设计要求,所以在设计光子晶体时要根据实际要求来选择材料.

2.3 (A/B)＾n/(C/D)＾m 型结构

要在禁带中中心波长处存在透射尖峰则需要存在类似法布里-珀罗共振腔的结构,即对于中心波长,存在“等效增反层/增透层/等效增反层”的结构.

图6

从图6中还可以发现,当左侧光子晶体(A/B)＾n的调节参数φ等于右边(C/D)＾m的调节参数,且不考虑介质的吸收时,中心波长处透射率可以达到100%,这是因为当光子晶体(B/A)＾m 与(C/D)＾m 的调节参数 φ、重复数 μ以及所取的中心波长λ0相同时,两者的光学性质就相同,考虑到 n=m,(A/B)＾n/(C/D)＾m 就可以等效地看作是(A/B)＾n/(B/A)＾n,即 A/(B/A)＾(n-1)/BB/(A/B)＾(n-1)/A,该结构中间的BB层可以看作是增透层,同时该结构还具有中心对称性,对于中心波长,(A/B)＾n/(C/D)＾m型光子晶体就能够由“等效增反层/增透层/等效增反层”结构进一步等效简化为一般的单一的介质层,因而中心波长处透射率可以达到100%.

通过类似的分析可得,如果 A的折射率小于B的折射率,那么禁带中在中心波长处存在透射尖峰的条件是,C的折射率大于D的折射率,同时这也是该结构能够存在光学表面态的必要条件[8].

3 结论

本文通过光学中的基本规律分析了一维光子晶体中各介质层的作用,将一维光子晶体等效成特殊介质层,进而以直观的方式解释光子晶体的基本性质,即光子禁带以及光子局域效应.这就使得我们能够以光学中的一些简单、容易理解的概念和规律来容易地理解数值计算中的一些重要的结论.

一维光子晶体中的各介质层的作用由该介质层的光学厚度以及所其处环境决定,同时,作用效果会随着入射光波长相对中心波长的远离而发生周期性的变化.

当入射波长一定时,(A/B)＾n型光子晶体可以等效看作是单一的特殊的增反层,其特殊之处在于该结构能够对中心波长以及其邻域内的一段波长的入射光都起着强烈的增反作用,形成以中心波长为中心的透射禁带,禁带的主要影响因素是调节参数 φ、重复数 n以及中心波长λ0;(A/B)＾n/C/(B/A)＾n型光子晶体同样具有禁带结构,并且其性质主要由中心层C两侧的等效增反层决定,对于中心波长的入射光,该结构可以等效为“等效增反层/增透层/等效增反层”的类似法布里-珀罗共振腔的结构,使得中心波长处的入射光有很高的透射率,当n=m时,该结构又可进一步等效简化为一般的单一的介质层;而对于(A/B)＾n/(C/D)＾m结构,在当 A的折射率小于B的折射率时,禁带中在中心波长处存在透射尖峰的条件是,C的折射率大于D的折射率,因为这时该结构可以形成类似法布里-珀罗共振腔的结构,同时这也是该结构能够存在光学表面态的必要条件.

1 Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics.Phys.Rev.Lett.,1987,58:2059-2062

2 John S.Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices.Phys.Rev.Lett.,1987,58:2486-2489

3 R.C.Johns.A new calculus for the treatment of optical systems.J.Opt.Soc.Am.,1941,31:500-503

4 D.W.Berreman.Optics in stratified and anisotropic media:44-matrix formulation.J.Opt.Soc.Am.,1972,62:502-510

5 Qiu M,Azizi K,Karlsson A,et al.Numerical Studies of mode gaps and coupling efficiency for line-defect waveguides in twodimensional photonic crystals.Phys.Rev.B,2001,64:155113,1-5

6 Ho K M,Chan C T,Soukoulis C M.Existence of a photonic gap in periodic dielectric structure.Phys.Rev.Lett.,1990,65(25):3152-3155.

7 唐晋发,顾培夫,刘旭等.现代光学薄膜技术.杭州:浙江大学出版社,2007:40-48

8 M.Kaliteevski,I.Iorsh,S.Brand,et al.Tamm plasmon-polaritons:Possible electromagnetic states at the interface of a metal and a dielectric Bragg mirror.Phys.Lett.B,2007,76:165415,1-5