装水后,游泳池底仍是水平的吗?——利用Excel软件分析视深度问题

薛 峰

(苏州立达中学,江苏 苏州 215002)

问题:如果你站在一个装满水、并且池底是水平的游泳池边,你所看到的池底是否仍是水平的?

这个问题的答案是否定的,装满水的游泳池池底看上去是倾斜的.尽管多数人都去过游泳池,但很少有人注意到这个现象,我们可以用如下的实验再现这一现象.

实验:用加满水的长方体塑料盒模拟游泳池,用数码照相机模拟人眼进行实验,拍摄照片如图1所示,从照片中可以看出“池底”不是水平的,而是呈现斜坡状.同样,用两个相同的长方体塑料盒进行实验,则可以对比装水前后“池底”的情况.如图2所示,左侧盒中未装水,右侧装满水,从图中不仅可以看到“池底”是倾斜的,还可以看出整个“池底”看上去明显变浅了.

图1

图2

装水后的“池底”看上去变浅了,这被称为“视深度”现象,它是初中物理中有关光的折射的一个重要知识点,其基本内容是“人在空气中看到水中物体比其实际位置高”,在学习了光的折射规律后,学生可以通过画出典型光路图(如图3)解释这一现象.在图 3中,若点A是水中某物体上的一点,它发出光线穿过水面进入人的眼睛里,人便能看到点A,但由于光在水面发生了折射,人眼的定位功能将折射光线的反向延长线的交点(A′)认为是A的位置,而实际上 A′只是A的虚像,它在水中的位置比点A高.如果点A恰好是游泳池底上的一点,那么,点A′便直观地说明了装水后的“池底”为什么看上去变浅了.但是如果就此认为池底上每一点的视深度都和点 A′相同,从而把过点A′的水平虚线MN看成整个“池底”的像的话,就大错特错了.这里需要讨论到水中某物体的视深度是否变化这一问题.

图3

猜想:在水中物体和水面都不变的情况下,很容易猜想到水中物体的视深度可能会随光路图中两根光线的入射角度的变化而变化.

图4

分析1:为了便于分析,首先对光路作一些简化:如图4所示,假设A是水中的一个物体,它发出两根光线,其中一根光线垂直于水面入射,则它的折射光线不改变方向,折射光线的反向延长线和入射光线重合;我们只需要根据另一根光线的光路就可以确定A物体的像A′的位置,设另一根光线的入射角为i,对应折射角为 r,A物体实际深度h=OA=10 cm,其虚像A′的深度(即视深度)为H=OA′.查表得水的折射率约为n=1.33,空气折射率近似为1.

由几何关系可知

将(1)、(2)代入(3)式,可得

利用Excel软件可以快速而简便地作出H与i的函数图像,具体做法如下:

(1)在 Excel中新建一个工作表(如表 1),第1行至第3行分别表示入射角i、折射角r和视深度H.

表1

(2)入射角i以3°为间隔增加(输入几格后可通过拖动实现),但有两点要注意:①起点不能设为 0°,因为当i=0°时,图4中的两根光线重合,交点不能确定,所以此处起点设为0.1°.②因为光从光密媒质向光疏媒质传播,会产生全反射现象,根据计算可知临界角约为48.75°,所以这里入射角 i以48°为终点.

(3)在B2单元格中输入“=ASIN(1.33*SIN(B1*PI()/180))*180/PI()” ,表示公式“γ=arcsin(nsini)”,这里要注意角度与弧度之间的转换.

(5)选定单元格 B2:B3,拖动至 R2:R3,各单元格内的计算即刻完成.

(6)选中 A1:R1和 A3:R3中的数据,再点击插入菜单中的“图表”,然后在图表类型中选择“XY散点图”,并在子类型中选择“无数据点平滑线散点图”,再按几次下一步,就可以得到视深度H与入射角i的函数图像,即H-i曲线(如图5).

(7)选中 A1:R1和 A2:R2中的数据,同样也可作出视深度H与折射角r的函数图像(H-r曲线,如图6)

图5

图6

从以上两图可以得出结论:在空气中看水中物体的视深度不是一个定值,它会随着入射角和折射角的变化而变化;入射角i越大,视深度 H越小(如图5);折射角r越大,视深度H越小,或者说视线和竖直方向角度越大看到水中物体的深度越浅(如图6).

分析2:利用上述结论就可以解释游泳池底为什么看上去是倾斜的.如图7所示,点S是游泳池边观察者的眼睛,A、B、C是水平池底上的3个点,它们发出的光线在水面发生折射后进入观察者眼睛S,观察者所看到的像分别是 A′、B′、C′.由于 A、B、C3点到观察者的水平距离不同,则人看到这3点的视线与竖直方向的角度也不同,由几何知识可知,图中3个折射角的大小关系为∠4＞∠5＞∠6,即离观察者越远的点所对应的折射角越大,根据从图6中得到的结论——折射角 r越大,视深度H越小,可知游泳池底的某点离观察者水平距离越远,它的视深度就越浅(如图7中A′、B′和 C′所示),这样本来水平的“池底”看起来应呈一个斜坡状,如图7中的虚线M N所示.

图7

在实验过程中,通常还会发现这样一个现象:照相机镜头离水面越近,所拍摄到的“池底”倾斜的现象越明显;相反,如果观察者眼睛离水面过高,有时几乎察觉不到“池底”是倾斜的.换言之,即当视线和竖直方向角度越大时,“池底”倾斜的现象越明显.

要解释这一现象,只需要再次用到上面的函数图像(如图6),但要进一步挖掘出图像中视深度H关于折射角r的变化率大小的问题,这是中考图像分析题中经常考到的一类问题,学生经过观察能发现,视深度H的变化量随折射角r的增大而增大的规律.进而可知当观察者眼睛离水面越近时,也就是进入眼睛的折射光线的折射角r越大时,“池底”的视深度随折射角变化得越快,因此“池底”的倾斜程度也越大.这一现象很好地说明了为什么多数人站在游泳池边不易发现“池底”是倾斜的,而为了更明显发现这一现象,可以选择蹲在或趴在泳池边.

对分析1中所作简化的再讨论:在分析1中,为了使问题简化,假定一根光线总是垂直于水面入射,只需分析另一根光线的入射角度即可.这一简化虽然并不妨碍解释“池底”倾斜的成因,但毕竟与实际情况有所出入,简化结果使画出的像A′始终位于A的正上方;但实际上,人眼瞳孔很小,一般正常成人瞳孔在弥散自然光线下的直径大约在2.5 mm到4.0 mm之间,因此只能让很窄的光束通过,多数情况是看不到垂直入射的光线的,这就会造成所成的像在水平方向上有一个侧移.如图 8所示,L1和 L2表示刚好进入瞳孔的光束中最下沿和最上沿的两根光线,根据上述简化分析可知,由 L1和 L2找到的像分别位于图中A1和A2,但实际上人眼只能根据能进入瞳孔的光线L1和L2的反向延长线将像定位于图中A′点,这样虚像就不在物体的正上方,而发生了侧移,不过侧移量微小,不易觉察.此处限于篇幅,就不对这个问题深入展开了.

图8