随机条件下固定公交线路服务频率优化模型＊

陈维亚 陈治亚

（中南大学交通运输工程学院1） 长沙 410075） （西安电子科技大学2） 西安 710071）

0 引 言

根据公交线路的乘客需求合理确定公交线路服务频率是平衡公交供求的关键内容.在实际的公交服务中，线路服务频率越高，乘客在站候车时间可能越短，并且获得座位或者能够上车的可能性越大，但是对于公交部门可能意味着较低的车辆利用率和较高的运营成本；而服务频率越小，公交车辆利用率可能越高，但乘客等车时间可能越长甚至由于车辆满载而无法上车.

在已有的确定公交线路服务频率的模型中，以文献［1－3］为代表的模型均以缩短乘客候车时间和降低车内拥挤程度为乘客满意目标，以公交线路收益最大为企业满意目标，通过双层规划或者加权组合等方式以期获得总体最佳的服务频率.这些模型虽然都综合考虑了乘客利益和公交公司的效益，但是都假设车辆在站间区间的运行速度为定值，因而忽略了实际运营过程中车辆站间运行时间的随机性以及由这种随机性导致的车辆载客不均匀性.针对这个问题，本文考虑车辆站间运行时间的随机性和乘客需求的波动性以及二者的相互动态影响，建立了以乘客候车期望和公交车辆利用率总体最优为目标的公交服务频率优化模型.鉴于公交服务过程的动态随机特性，利用蒙特卡罗方法对模型进行模拟求解.

1 模型建立

1.1 模型假设

由于公交线路服务除了受到车辆站间运行时间随机性和乘客需求波动性等复杂特性影响之外，还受到许多其他因素的影响，为了有针对性的对所研究问题进行探讨，在建立模型之前，需要结合实际对被考察公交线路作如下假设：（1）被考察线路为高频服务线路，发车间隔小于10min［4］（在这个假设下认为乘客随机到站比较合理），且在同一时段内从始发站出发的时间间隔不变，即服务频率不变.（2）乘客到站服从一定的概率分布，并且先到先服务，没有得到服务的乘客在下趟车优先服务.（3）车辆到站后，下车乘客人数与到站时的车上总乘客数成正比.（4）不同车辆在相同站间的运行时间呈同一概率分布，不同趟次的车辆运行相互独立.（5）平均每位乘客的上下车时间为常数，车辆在车站的等待时间由乘客上下车时间决定.（6）同一线路上的车辆的承载能力相同且为定值.

1.2 变量和符号说明

为了更清晰的表达所描述的问题，首先定义以下变量和参数：i为下标变量，表示车辆发车顺次，i＋1代表紧随i后的车辆；k为下标变量，表示公交车站站序，约定始发站为0，然后依次为1，2，3，…；H为始发站固定发车时间间隔；Hik为车辆i与前一辆车（i－1）到达车站k的实际车头时间距；Rik为车辆i从车站（k－1）启动运行至车站k停车的时间；Dik为车辆i在车站k服务乘客上下车的等待时间；Aik为车辆i到达车站k时车上需要下车的乘客数；Bik为车辆i到达车站k时上车的乘客数；UBik为车辆i离开k站时由于车辆满载未能上车的乘客数；Lik为车辆i离开车站k时车上乘客总数；α为乘客平均下车时间；β为乘客平均上车时间；λk为车站k的乘客到达率；ρk为车辆到达车站k时将要下车乘客占车上总乘客的比率；C为车辆的承载能力.

1.3 模型建立

乘客候车期望体现为较短的候车时间和舒适的乘车环境，至少车辆到站后可以顺利上车而不用等待下一趟车.车辆利用率表现为平均线路断面载客量，平均线路断面载客量越大，车辆利用率越高.由此建立如下的公交线路服务频率优化模型

模型中，目标函数为获得最大平均线路断面载客量，第一个约束条件表示线路各站由于车辆满载未能上车而必须继续等待的乘客总数占所有上车的乘客数的百分比必须小于某一乘客候车期望衡量标准θ，这个约束条件体现了乘客候车期望，θ越小，表示乘客候车期望越高，它在一定程度上综合了文献［3］中的候车满意度与舒适满意度.第二个约束条件满足假设（1）中的高频线路要求.

1.4 模型分析

模型中的目标函数和第一个约束条件需要逐车逐站计算断面载客量、上车乘客数和未上车乘客数，这可以通过分析公交服务过程中乘客与公交车辆的动态互动关系得到.

对于高频发车的公交线路，多数文献都证实乘客到站和下车人数通常服从一定的概率分布.本文假定乘客到站服从Poisson分布且平均乘客到站率为λk（人／min），下车乘客人数服从二项分布且下车人数占车上总人数的比率为，乘客上车与下车同时发生，则车辆到达车站服务乘客上下车所用的等待时间Dik是乘客总下车时间和总上车时间中的较大值，即

式中：max（）表示取括号中二者的较大值，Aik和Bik可分别通过下式计算得到

此时，可能由于车辆满载未能上车的乘客数为

车辆离开车站时的总乘客数为

考虑到站间运行时间随机性和乘客需求波动性，因此在始发站发车间隔一定的情况下各站的车头时间距会随车辆运行而改变，以上公式中的变动车头时间距为

由于Hik被定义成车辆i与前一辆车（i－1）到达车站k时的车头时间距，因而忽略了乘客上下车时间内乘客的进一步到达对问题的影响.式（6）中的站间运行时间可以根据假设（4）通过一定的概率函数获得.

1.5 模型求解

由上述公交服务过程分析可以看出，计算公式具有传递性和迭代性，可在给定初始状态的情况下递推得到逐车逐站的断面载客量、上车乘客数和未上车乘客数.在上述随机条件下的公交服务过程可用蒙特卡罗（Monte－Carlo）方法进行模拟［6－8］.在给定线路参数条件下，目标函数和约束条件均为车头时间距的一元函数，且目标函数中最大化平均线路断面载客量要求发车间隔趋向于越大，因此可以采用如下步骤对模型进行近似最优求解.

步骤1根据不同线路情况初始化线路基本参数.

步骤2设定最大发车间距H＝10min和服务时段长度.

步骤3运用蒙特卡罗方法模拟时段长度内的服务过程并计算目标函数和第一个约束条件.

步骤4检验约束条件，若约束条件被满足，得到近似最优发车间隔和频率，结束搜索；否则转步骤5.

步骤5以步长s递减调整起始站发车间隔，转步骤3.

2 应用实例与结果

2.1 线路基本参数

考虑一条固定公交运营线路，从出发站到终点站均匀分布有11个停靠站（k＝0，1，2，…，10），2个站间的运行时间独立同分布，且服从正态分布N（μ，σ2），站间期望运行时间均为3min，考虑到不同的路段路况差异，运行时间方差将设置不同.停靠站的等待时间根据各站的乘客需求决定，每个乘客的平均上车时间为3.0s，每个乘客的平均下车时间为1.8s，即α＝0.05，β＝0.03.从始发站按规定的发车间隔H发出一辆公交车，服务时段设为早高峰06：30～09：00，公交车的容许承载人数为C＝80人.表1给出了试验线路的乘客需求和路段运行时间参数.

表1 实验公交线路参数

2.2 计算结果

给定乘客对此实验线路的候车期望为θ＝1%，迭代步长为10s，利用蒙特卡罗方法在EXCEL中对前面描述的公交服务过程进行了随机模拟，并计算得到了最优发车时间间隔，表2给出最后5次迭代的结果.

表2 发车间隔及乘客候车期望和车辆利用率

3 结 论

本文建立的固定公交线路服务频率优化模型综合考虑了公交服务过程中的车辆站间运行时间随机性和乘客需求波动性以及二者的相互动态影响，以乘客候车期望和公交车辆利用率总体最优为目标兼顾了乘客和公交公司利益，符合公交调度决策的思路.

利用了蒙特卡罗方法将随机乘客需求和随机车辆运行时间运用到模型求解过程中，比较真实地反映了公交服务过程，能够计算得到公交供求平衡状态下的最优服务频率.

需要指出的是，基于模型的假设和仿真求解过程，本模型只适用于高频服务公交线路.同时，在实际运用中，在给定车辆载客能力的情况下，如果线路上乘客需求过大，理论上能够找到够小的发车间隔时间，但现实中可能通过增大车辆载客能力来解决过大的乘客需求.

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