大跨径悬索桥几何非线性分析综述

2011-06-29孙艺利

城市道桥与防洪 2011年9期

孙艺利，蒋欣

（长安大学，陕西西安，710064）

0 引言

悬索桥又称吊桥，是一种古老的桥型。1816年，第一座用钢丝做主缆索的人行悬索桥的建成，揭开了现代悬索桥发展的序幕[1]。日本从20世纪70年代开始发展悬索桥，在这方面做出了很大的努力并取得了可观的成绩。日本吊桥的发展主要通过本州-四国联络桥的修建，在本州四国联络桥的三条联络线中有22座大桥，其中有10座是大跨径的悬索桥，1998年建成的明石海峡大桥，主跨1 990 m。

我国的现代悬索桥虽然起步较晚，但发展很快，且是在美、英、日等国悬索桥技术发展相对成熟的基础上，通过学习借鉴，随着中国国情发展起来的，而且已经初具特色。

在有限元线性分析中假设：节点位移为无限小量；材料为线弹性，即材料的应力、应变关系满足广义虎克定律；加载时边界条件的性质保持不变。当这三条假设中任意一条不能满足时，则必须考虑结构非线性。事实上，结构力学问题，从本质上讲都是非线性的，线性假设只是对实际问题的一种简化。

悬索桥是柔性悬挂结构，在正常设计荷载作用下，即使材料应力没有超过弹性范围，其荷载也呈现明显的非线性关系[2]。所以在悬索桥设计计算中必须考虑非线性影响。

1 悬索桥几何非线性影响因素

悬索桥是大跨度桥梁中最自然、美观和经济的桥型。到目前为止，它仍是主跨1 000 m以上的大跨度桥梁首选的桥型。现代悬索桥通常主要由主缆、主塔、锚垫和加劲梁四大主体结构，以及塔顶主鞍座、锚口散束鞍座或散束箍和悬吊系等重要附属系统组成。其最大特点为恒载作用在主缆内形成的巨大拉力对后续活载作用下结构的变形有抵抗作用，结构具有不可忽略的几何非线性[3]。悬索桥在施工和运营阶段，缆索在自重作用下具有一定垂度，垂度大小与张力成反比；荷载作用下结构的大位移；结构的初始内力影响等诸多非线性问题。结构大位移的影响效应与恒载初始内力的影响效应相同，使加劲梁的挠度和弯矩减少，但其贡献远不及恒载初始内力，它只占精确值的18%左右。缆索自重垂度的非线性影响最小。这是因为悬索桥在成桥时缆索内就存在着巨大的初始张力，在活载作用下，缆索的垂度变化极小[2]。

由于结构的变位，在初始状态下结构的内力与外力的平衡条件在新的状态下已不再成立，这将产生不平衡力，如同荷载一样作用于结构，使得外荷载对结构的作用表现出非线性。通常，初始状态下结构处于稳态平衡，后续荷载要打破这种平衡而建立新的平衡必须消耗能量。因此，初始内力的影响总是抵消外力的作用，即初始内力的存在提高了结构的刚度，被称之为结构的内力刚度。初始状态的内力一般是由自重恒载引起的，所以，内力刚度通常又可称为重力刚度。对于大跨度悬索桥，白重恒载引起的初始内力是很大的，因此，初始内力是悬索桥非线性的最主要影响因素。因此，大跨度悬索桥的分析必须计入内力与结构变形的影响，否则将引起较大的误差。

2 悬索桥几何非线性问题求解方法

与其它桥梁结构形式不同，悬索桥在主缆就位后就很难进行后期索力和标高的调整，故其施工架设参数的精确计算就显得尤为重要。

关于悬索桥的分析理论，主要有不计几何非线性影响的线弹性理论，计及恒载初内力和结构竖向位移影响的挠度理论和充分考虑各种非线性影响的有限位移理论。有限位移理论是目前悬索桥结构分析中，理论上最严密精确和适用性好的较为完善的理论。在采用有限位移理论对悬索桥进行空间分析时，一般将悬索桥结构离散为空间杆单元、索单元和梁单元，并常用能量法推导单元切线刚度矩阵。然而能量法在应变与位移的函数式中通常忽略位移二次以上的高阶项，使精度受到一定影响[4]。

在悬索桥的设计分析中，有限元法已成为广泛使用的精确数值计算方法。但由于桥梁结构的材料性能、尺寸等存在着不确定性，在悬索桥的设计分析中，应考虑材料、几何尺寸等的随机性，且对于悬索桥这种柔性结构，有必要计入结构几何非线性[5]。主缆线形的精确计算直接关系到结构的受力状态和安全性能，尤其是加劲梁直接承受主缆水平分力，实践证明，加劲梁轴向刚度对主缆线形的影响不可忽略[6]。

结构分析的目的，就是要计算出结构在外荷载作用下处于平衡状态时的位移和内力，这个平衡状态是已经发生了变形的状态而不是变形前的状态。在结构分析中，如果结构所发生的位移远远小于结构自身的几何尺寸，则结构在外荷载作用下的平衡状态就可以和未受荷载时的位形不加区分，不必考虑结构位形的变化，以初始位形状态代替变形后的位形状态，也不会产生很大的误差，这就是结果线性分析；而当结构发生大位移、大转角时，与未受荷载时相比，结果位形已有了很大的变化，如果再用未受外荷载时的状态来代替这个状态，势必造成很大的误差(如悬索结构)。结构几何非线性分析的实质就是要求出结构变形之后的平衡状态，然后求出这个状态下结构的内力。

2.1 基本计算方法

悬索桥几何非线性的基本计算方法：增量法、迭代法、混合法。

2.1.1增量法

增量法是指荷载以增量的形式逐级加到结构上去，对每个荷载增量作用过程中假定结构的刚度是不变的，在任一荷载增量区间内节点位移和杆端力都是由区间起点处的结构刚度算出，然后利用求得的节点位移和杆端力求出相对于增量区间终点变形后的位置上的结构刚度，作为下一个荷载增量的起点刚度。增量法由于每一级荷载作用下都未得到精确的解答，随着增量过程的继续，将会产生“漂移”现象，误差越来越大。这一“漂移”现象并不因荷载的细分而有明显的改善。

2.1.2迭代法

迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上，节点位移用结构变形前的切线刚度求得，然后根据变形后的结构计算结构刚度求得杆端力。由于变形前后的结构刚度不同，产生节点不平衡荷载，为了满足节点平衡，将这些不平衡荷载作为节点荷载作用在节点上，计算出相对于变形后的节点位移量，反复这一迭代过程，直至不平衡荷载小于准许值为止。迭代法主要有Newton-Raphson法、拟N-R法、修正的N-R法。

2.1.3混合法

混合法是一种将增量法和迭代法相结合的方法。它在每个增量步长内都采用迭代法，使得每个步长内都达到精确解。这种方法要求迭代次数很多，因此计算量特别大。

2.2 非线性规划法

非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起来的。1951年，库恩(H.W.Kuhn)和塔克(A.W.Tucker)等人提出了非线性规划的最优条件，为它的发展奠定了基础。

工程实际中大量的非线性问题，都可通过无约束非线性规划的最优化方法解决。无约束非线性规划的极值问题通常使用迭代法，主要分为解析法和直接法两大类。解析法收敛速度较快，但要用到函数的一阶或二阶导数。当目标函数的解析表达式十分复杂，甚至写不出具体的表达式时，其导数很难求得，或导数根本不存在，解析法就无能为力了，只能采用直接搜索法。该法收敛速度较慢，适合于较少的变量。直接搜索法中常用的一种——单纯形法的迭代原理[7]、[8]。

非线性单纯形法是最优化技术中求解无约束非线性问题的一种较为有效的方法之一。该方法利用单纯形的顶点，计算其函数值，按一定的规则进行探测性搜索。通过对搜索区内单纯形顶点的函数值进行直接比较，判断目标函数的变化趋势，确定有利的搜索方向和步长。

搜索中，将单纯形顶点函数值误差最大的点作为“坏点”抛弃，以新点代之，构成新的单纯形，从而逐步逼近函数的极小点。以二维单纯形为例，对单一目标函数F(x)，首先以初值点X0为基础，构造二维单纯形ABC，并假定目标函数值满足FA＞FB＞FC，见图 1。此时，最差点 A 的反对称方向为目标函数的改进方向，以BC的中点D为中心，得到A点的反对称点E，则EBC为ABC的反射单纯形，XE=XD+(XD-XA)。对于点E，有以下几种情况：

（1）若 FE＜FC，表明原反射方向有利，继续大步前进，取 XF=XD+a(XD-XA)。其中，a＞1。对于新点 F，若FF＜FE，则表明向前扩展有利，得到新的单纯形FBC；若FF＞FE，则表明向前扩展不利，仍取单纯形EBC。