某类高阶偏微分系统离散谱的估计

黄振明

(苏州市职业大学基础部，江苏苏州215104)

0 引言

包含拉普拉斯算子Δ的方程或方程组是数学和物理学中较常见的一类，有关它们的谱估计已取得了一系列成果[1-7].现作进一步的推广，考虑下面包含Δ的一类高阶偏微分系统谱估计问题:

其中Ω⊂Rm(m≥2)是一个边界逐片光滑的区域，n是边界 ∂Ω的单位外法向量，x=(x1，x2，…，xm)，s，t是任意的正整数.

笔者主要运用文献[1]中的方法，并且参照文献[2]对方程及文献[3]对算子的讨论方法，推广到对偏微分系统(1)的谱估计，获得了用前n个谱来估计第n+1个谱的上界的不等式，其估计系数与区域Ω的几何度量无关，文献[4]讨论的问题是式(1)中当s=1，t=2时的特例，文献[5]讨论的问题也是式(1)中当s=2，t=3时的特例，因此本文结论是文献[4-5]的进一步推广，在物理学和力学等领域中有一定的应用价值[8].

1 主要结果

定理 1 设 λi(i=1，2，…，n+1)是式(1)的谱，则:

定理2 对于任何整数m≥2，n≥1，有:

2 定理的证明

记▽·▽=▽2=Δ，2维函数列向量u=

设式(2)的谱为 0＜λ1≤λ2≤…≤λn≤…，与之相对应的正交特征向量为(i=1，2，…，n)，即满足:

计算可得:

利用 φik与uj(j=1，2，…，n)的正交性，以及等式，从式(5)有:

利用式(4)和式(7)有:

在式(8)中，用 λn替代所有的 λi(i=1，2，…，n)，有:

引理1 设ui是式(2)对应谱 λi(i=1，2，…，n)的特征向量，则:

(a，b为实数)

证明 因为v1i，v2i分别是方程(-Δ)sy=λy和(-Δ)ty=λy对应的谱 λi的特征函数，由文献[3]中引理1可知:

于是:

即得引理1.

引理2 设ui是式(2)对应谱 λi(i=1，2，…，n)的特征向量，则:

证明 ①利用分部积分，有:

②类似地:

由式(10)可得:

利用引理2①和式(11)，有:

证毕.

引理 3 设 λ1，λ2，…，λn是式(2)的n个谱，则:

所以有:

利用引理2②，由式(12)知:

利用引理1和式(13)得:

证毕.

引理4 对于上述 φik和 λi(i=1，2，…，n，k=1，2，…，m)，有下列不等式成立:

证明 由φik的定义，有:

易知式(14)右端第 2项恒等于 0，又

利用式(14)、式(15)和式(3)得:

利用式(16)、Schwartz不等式和引理1(取a=b=p=l=1)，有:

即得引理3.

定理1的证明:利用引理3和引理4，由式(9)可得定理1①，在定理1①右端用λn替代λi，可得定理 1②.

定理2的证明:选择参数 σ＞λn，利用式(8)，得:

利用式(16)和Young不等式，有:

利用引理1和式(20)，有:

为了使式(21)右端的值达到最小，取δ=

利用式(21)和式(22)，得:

将式(23)代入式(19)，得:

其中σ＞λn，选取 σ，使不等式(24)右端等于0，即:

[1]Hile G H，Yen R Z.Inequalities for Eigenvalues of the Biharmonic Operator[J].Pacific J.Math，1984，112(1):115-133

[2]吴平.重调和方程特征值的上界估计[J].苏州铁道师院学报:自然科学版，2002，19(1):21-25

[3]黄振明.多项式算子谱的带权估计[J].南通大学学报:自然科学版，2006，17(2):20-23

[4]钱椿林，蒋麟.某类系统的离散谱估计[J].江苏广播电视大学学报，2000，11(4):1-3

[5]黄振明.一类偏微分系统的离散谱估计[J].苏州科技学院学报:自然科学版，2010，27(2):4-8

[6]陈祖墀，钱椿林.调和算子二次式的离散谱估计[J].应用数学学报，1989，12(3):368-373

[7]CHEN Z C，QIAN C L.Estimates for discrete spectrum of the Laplacian operator with any order[J].China Univ Sci Tech，1990，20(3):259-265

[8]Protter M H.Can one hear the shape of a drum?[J].SIAM Rev，1987，29(2):185-197