L－预拓扑空间的良紧性

王 瑜，马保国，张敏芝

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安，716000）

L－预拓扑空间的良紧性

王 瑜，马保国，张敏芝

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安，716000）

在 L－预拓扑空间中定义了良紧集，并讨论了 L－预拓扑空间中良紧集的等价刻划与基本性质。

L－预拓扑空间；α－远域族；良紧集；r－覆盖；α－网

众所周知，紧性理论是模糊拓扑学研究的重要课题之一，而良紧性被认为是一种最好的紧性。文献［1］王国俊教授在 LF－拓扑空间中，就 L＝［0，1］的情形引入良紧性理论。彭育威在文献［2］、［3］中将良紧性理论推广到一般的F格 L的情形，给出了不依赖于［0，1］拓扑结构的良紧性的等价刻划，并讨论了它们的基本性质。自从李生刚等人在文献［4］中引入L－预拓扑空间的概念以来，得出了一系列有意义的结果［4－7］。但是在 L－预拓扑空间，对于良紧集目前还没有研究。因此本文的主要目的是在已有文献的基础上，引入 L－预拓扑空间的良紧集及良紧空间的概念，给出了它们的等价刻划并研究其基本性质，如，L－预拓扑空间的良紧性对闭子集是遗传的、弱拓扑不变的、L－好的推广等。

本文中L表示具有最小元0和最大元 1的De Morgan代数，LX是从 X到 L的映射的全体。Copr（L）表示L中非 0余素元的全体，Pr（L）表示 L中非1素元的全体。α∈L，β（α）为α的极小集，β*（α）＝β（α）∩Copr（L）.其它记号和术语见参考文献。

1 预备知识

定义 1.1[4]设L是 Fuzzy格，X≠∅，δ⊂LX，

若则称δ为X上的L－预拓扑，称（X，δ）为L－预拓扑空间，δ中的成员称为 L－开集，δ′中的成员称为 L－闭集。

定义 1.2［6］设（X，δ）是L－预拓扑空间，xλ∈Copr（LX），A∈δ′，若 xλ≤A，则称A为xλ的闭预远域。设 B∈LX，若有 xλ的闭预远域 A，使得 B≤A，则称B为xλ的预远域。xλ的所有预远域之集，称为 xλ在（X，δ）中的预远域系，记作 ηδ（xλ）；xλ在

定义 1.3［5］设（X，δ）是L－预拓扑空间，G∈LX，α∈Copr（L），Φ⊂δ′。

（1）若∀xa≤G，存在 A∈Φ，使得 xa≤A，则称Φ为 G的 α－预远域族。记作∧Φ＜G（α）。

（2）若∃γ∈β*（α），使 Φ为 G的 γ－预远域族，则 称 Φ 为 G的 α－－预远 域族，记 作∧Φ＜＜G（α）

定义 1.4［6］设（X1，δ1）和（X2，δ2）为两个L－预拓扑空间，f：X1→X2是一个映射，如果对任意 B∈δ2，有fL←（B）∈δ1，或对任意 B∈δ2′，有 fL←（B）∈δ1′，则称 f为连续的 L－值 Zadeh型函数。

其中，fL→

定义1.5 设（X，δ）是L－预拓扑空间，α∈Copr（L），称X中网｛S（n），n∈D｝为α－网，是指存在n0∈D，使得对于任意n≥n0（n∈D），当r∈β*（α）时，有V（S（n））≥r成立。其中V（S（n））表示S（n）的高度，令V（S）＝｛V（S（n）），n∈D｝，这时V（S）是 L中的分子网，称为 S的值网。

定义1.6 设S＝｛S（n），n∈D｝为L－预拓扑空间（X，δ）中的α－网，xα∈Copr（LX），如果∀U∈ηδ（xα），S经常不在U中，则称 xα为 S的聚点。

定义 1.7［6］设（X，R）是分明的预拓扑空间，L是完全分配格，A：X→L是映射。如果对任意的 α这里 R′表示（X，R）中全体闭集之族。则称 A为 X上的 L值下半连续映射。以 ωL（R）表示X上全体下半连续映射之集，则

（1）X上每个 L中取常值的函数属于ωL（R），

（2）若A，B∈ωL（R，则A∧B∈ωL（R），

（3）若I⊂ωL（R），则∨I∈ωL（R）.

由此可见，ωL（R）是 X上的 L－预拓扑，叫做由R生成（或诱导）的 X上的 L－预拓扑，并且称（X，ωL（R）为（X，R）拓扑生成（或诱导）的L－预拓扑空间。

2 L－预拓扑空间的良紧集

定义2.1 设（X，δ）是L－预拓扑空间，A∈LX.如果对 A的任一α－预远域族 Φ⊂δ′，Φ有有限子族 Ψ，使 Ψ构成 A的α－－预远域族，则称A为（X，δ）中的良紧集。

当（X，δ）中的最大L－集1是良紧集时，称（X，δ）为良紧的L－预拓扑空间，简称良紧空间。

定理2.1 设（X，δ）是L－预拓扑空间，A∈LX，则 A为良紧集当且仅当以下条件成立：

（1）∀α∈Copr（L），A的每个 α－预远域族 Φ都有有限的子 α－预远域族，即，若∧Φ＜A（α），则有 ψ∈2（Φ），使∧Ψ＜A（α）.

（2）∀α∈Copr（L），由一个闭集构成的 A的α－预远域族 Φ＝｛P｝也是 A的 α－－预远域族。

证明 必要性：设 A是良紧集，∀α∈Copr（L），Φ是A的α－预远域族，则Φ有有限子族 Ψ，使∧Ψ＜＜A（α）.这时自然有∧Ψ＜A（α），即，Ψ是 Φ的有限子 α－预远域族，从而（1）成立。再设Φ＝｛P｝是 A的α－预远域族，则 Φ有有限子族，使∧Ψ＜＜A（α）.但这时只可能 Ψ＝Φ，所以，Φ也是A的α－的任一分子 xr，均有这时，存在Q∈Ψ，使r≤Q（x），所以，Ψ是A的 α－－预远域族。这就证明了 A是良紧集。

定义2.2 设（X，δ）是L－预拓扑空间，Ω⊂LX.如果∨Ω＝1，则称Ω为（X，δ）的覆盖。如果 Ω⊂δ，则称Ω为（X，δ）的开覆盖。当 Δ⊂Ω，且∨Δ＝1时，称 Δ为 Ω的子覆盖。

定义2.3 设（X，δ）是L－预拓扑空间，Ω⊂δ，r是L中的素元，且r＜1。∀x∈X，有U∈Ω，使U（x）≤r，则称 Ω为（LX，δ）的r－覆盖，或简称 Ω为r－覆盖。设 α*（r）是 r的异于1的素元组成的极大集。若存在s∈α*（r），使Ω为（X，δ）的s－覆盖，则称Ω为 r＋－覆盖。

定理2.2 L－预拓扑空间（X，δ）是良紧集当且仅当每个r－覆盖Ω，都有有限子族 Δ，使 Δ构成r＋－覆盖。

证明 设（X，δ）是良紧空间，Ω是 r－覆盖，r是 L中的素元且 r＜1.令Φ＝Ω′，则 Φ是闭集族，且∀x∈X，有P＝U′∈Φ，使U（x）≤r，也就是r′≤P（x）.因为r是异于1的素元，所以 r′是 L中的分子。由xr

′≤P知，P∈ηδ（xr′）.这表明 Φ是 r′－预远域族，因为（X，δ）是良紧空间，所以，Ω有有限子族Δ，使得 Ψ＝Δ′构成（r′）－－预远域族，即，存在 s∈β*（r′），使得∀x∈X，有B∈Δ，使s≤V′（x）.这等价于存在s′∈α*（r），使∀x∈X，有 B∈Δ，使V（x）≤s′.可见Ω的有限子族 Δ是 r＋－覆盖。

反过来，设（X，δ）的每个 r－覆盖都有有限子族构成（X，δ）的 r＋－覆盖。设 Φ是任一 α－预远域族。令Ω＝Φ′，r＝α′，则由α为分子知r是异于1的素元且 Ω是 r－覆盖。由假设Ω有有限子族 Δ，使其构成 r＋－覆盖，令 Ψ＝Δ′，则Ψ是Φ的有限子族。易证 Ψ是α－－预远域族，所以（X，δ）是良紧空间。

定理2.3 设（X，δ）是L－预拓扑空间，A∈LX，则 A是良紧集当且仅∀α∈Copr（L），A中的α－网在 A中有一高度等于 α的聚点。

证明 设 A是良紧集，S＝｛S（n），n∈D｝是 A－预远域族，从而（2）成立。

充分性：设条件（1）和（2）成立，∀α∈Copr（L），Φ是A的 α－预远域族。由（1）知，Φ有有限子族Ψ，使∧Ψ＜A（α）.令P＝∧Ψ，则{｝P显然是A的 α－预远域族。由（2）知，{ ｝P也是A的 α－－预远域族。即，Copr（L）中有分子r∈β*（α），使得对A中中的 α－网，若S在 A中没有高度等于α的聚点。那么，对A中任一分子 xα，有U（x）∈ηδ（xα）使 S最终小于或等于U（x），即，存在n（x）∈D使当n≥n（x）时S（x）≤U（x）.令｝，则Φ是A的 α－远域族。因为 A是良紧集，Φ有有限子族 Ψ使∧Ψ＜＜A（α），即，存在r∈β*（α）使得对 A中任一分子yr有i≤k使 yr≤U（xi）.令，则对 A中任一分子yr有 yr≤ U，即，

因为 D是定向集，存在 n0∈D使 n0≥n（xi）（i＝1，...，k）。那么当 n≥n0时，S（n）≤U（xi）（i＝1，...，k），从而当n≥n0时S（n）≤U，即，

由（1），（2）式及S（n）≤A得，当n≥n0时 V（S（n））≥r。这与S是A中的 α－网的定义相矛盾。所以S在 A中至少有一高度等于 α的聚点。

反过来，设 A中每个α－网在 A中有高度等于α的聚点（α∈Copr（L）），Φ是A的 α－远域族。设Φ的任一有限子族 Ψ都不是A的 α－－远域族，则∀Ψ∈2（Φ），∀r∈β*（α），A中有分子xΨ

r使

令 D＝β*（α）×2（Φ），对 D中二元（r1，Ψ1）与（r2，Ψ2），规定（r1，Ψ1）≤（r2，Ψ2）当且仅当 r1≤r2且 r1≤r2，

由［1］中的引理6.2.6易知 D是定向集。令

则S是 A中的分子网。因为∀r∈β*（α），任取Ψ0∈2（Φ），则当（s，Ψ）≥（r，Ψ0）时，V（xΨs）≥r，所以 S是A中的α－网。在 A中任取高度等于 α的分子 xα.由 Φ是A的 α－远域族知，有Q∈Φ使 Q∈ηδ（xα）.这时｛Q｝∈2（Φ）.任取s∈β*（α），则当（r，Ψ）≥（s，｛Q｝）时，由（3）式及Q∈Ψ知≤Q，即，S最终在Q中，所以 xα不是 S的聚点。那么 S在 A中就没有高度等于 α的聚点，此与题设矛盾。所以 Φ有有限子族 Ψ，使 Ψ成为A的α－－远域族，可见 A是良紧集。

定理2.4 设（X，δ）是L－预拓扑空间，A是良紧集，B是闭集，则 A∧B是良紧集。

证明 设S是A∧B中的α－网，则S也是A中的 α－网。因为 A是良紧集，S在 A中有一高度等于 α的聚点 xα。但 S又是闭集 B中的分子网，xα作为 S的聚点应当有 xα≤B1。所以 xα≤A∧B，即，xα是 S在 A∧B中的聚点，因此A∧B是良紧集。

L－预拓扑空间中的良紧集在连续的 L值 Zadeh型函数之下的像是良紧集。

定理2.5 设（X1，δ1）和（X2，δ2）是L－预拓扑空间，f：（X1，δ1）→（X2，δ2）是连续的L值Zadeh型函数，那么当 A是（X1，δ1）中的良紧集时f（A）是（X2，δ2）中的良紧集。

证明 ∀α∈Copr（L），设 Φ是f（A）的 α－预远域族，则对 A中任一分子 xα，f（xα）＝（f（x））α是 f（A）中高度等于α的分子，所以Φ中有闭集 P，使（f（x））α≤P，或 α≤P（f（x）），这等价于α≤f－1（P）（x）或xα≤f－1（P）。因为f连续，f－1（P）是（LX，δ1）中的闭集，所以，f－1（P）∈η－δ1（xα），从而f－1（Φ）是A的α－预远域族。由 A的良紧性知，Φ有有限子族 Ψ＝｛P1，...，Pn｝，使f－1（Ψ）是A的α－预远域族。以下只须证明Ψ就是 f（A）的α－－预远域族，为此只须证明存在s∈β*（α），使 f（A）中任一高度等于s的分子ys而言，存在 i≤n使ys≤Pi，即，只须证明事实上，由 f－1（Ψ）是 A的α－－预远域族知，有 r∈β*（α），使对 A中任一分子 xr和 i≤n，都有 xr≤f－1（Pi），即，

现在设（4）不成立，即，

因为α＝sup*（α），所以由极小映射 β的性质知

由r∈β*（s）知，有x∈X使A（x）≥r且f（x）＝y。这时xr是A中的分子，从而满足（5）。又，（f（x））r＝yr≤ys，所以由（6）得 f（xr）＝（f（x））r＝yr≤P1∧...∧Pn。即

上式与（5）相矛盾，所以（4）式成立。

推论 2.1 L－预拓扑空间中良紧性是弱拓扑不变的。

定理2.6 设（X，ωL（R））是由分明预拓扑空间（X，R）拓扑生成的 L－预拓扑空间，则（X，ωL（R））是良紧空间当且仅当（X，R）是紧空间。

证明 必要性：设（X，ωL（R））是良紧空间，Ψ是（X，R）的开覆盖。令

则 Γ是（X，ωL（R））中的开集族。由L的最大元1可表示为若干分子之并。任取这样一个分子 α，令 r＝α′，则 r是异于1的素元，这时 Γ显然是r－覆盖。由（LX，ωL（R））的 良 紧 性知，Ψ有有 限 子族｛W1，...，Wn｝使 Γ 的有 限 子族 Δ ＝ ｛χWi成为 r＋－覆盖。那么对每个 x∈X，有 χWi∈Δ，使 χWi（x）≠0，即，x∈Wi.可见｛W1，...，Wn｝是Ψ的有限子覆盖。所以（X，R）是紧空间。

充分性：设（X，R）是紧空间，Σ是（LX，ωL（R））是r－覆盖，∀x∈X，可取Ux∈Σ，使Ux（x）≤r，所以有s（x）∈α*（r），使Ux（x）≤s（x）.这时

因为 Ux是 X上的L值下半连续函数组成，ιs（x）（Ux）是（X，R）中的开集，所以，是（X，R）的开覆盖。因为（X，R）是紧空间，故有x1，...，xn∈X，使得构成Γ的有限子覆盖，由文献［1］的引理6.2.6易知，α*（r）是下定向集，所以，存在s∈α*（r），使 s≤s（x1），...，s≤s（xn）.任取x∈X，由 Γ0是X的覆盖知有 i＜n，使得 x∈ιs（xi）（Uxi），从而 Uxi（x）≤s（xi），那么更有 Uxi（x）≤s.这表明Γ0是 s－覆盖，从而，Γ0是r＋－覆盖。由定理2.2知，则（X，ωL（R））是良紧空间。

推论2.2 L－预拓扑空间中良紧性是 L－好的推广。

［1］王国俊.L－fuzzy拓扑空间论［M］.西安：陕西师大出版社，1988：94.

［2］彭育威.L－fuzzy拓扑空间的良紧集［J］.数学学报，1986，29（4）：555－558.

［3］彭育威.L－良紧子集的刻划［J］.数学进展，1987（16）：87－90.

［4］苏华飞，李生刚.L－预拓扑的确定［J］.内蒙古大学学报（自然科学版），2006，37（4）：378－381.

［5］钟晓静，尤飞，李生刚.L－预拓扑空间中模糊网的 O－收敛及其应用［J］.模糊系统与数学，2010，24（1）：35－40.

［6］贺晓丽，伏文清.L－预拓扑空间的局部连通性：可乘性与 L－好的推广［J］.山东大学学报，2010，45（10）：78－82.

［责任编辑 贺小林］

N－Com pactness In L－Pretopological Spaces

WANG YU，MA Bao－guo，ZHANG Min－zhi
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China.）

The conceptof N－compactnesswas defined in L－pretopological spaces，two characterization of the ncompactnesswere given，and some of its importantwere discussed.

L－pretopological spaces；N－compactness；α－remote neighborborhood；r－covered set；α－net

O189.1

A

1004-602X（2011）02-0009-04

2011 -05 -03

陕西省自然科学基金青年资助项目（2010JQ1005）

王瑜（1985—），女，陕西乾县人，延安大学在读硕士研究生。