基于Inventor 在蜗轮副建模应用中的探讨

向 平，周 敏，赵 鑫，张 钊，刘 林

(1.重庆电力高等专科学校，重庆400053;2.中国二重集团德阳重型装备股份有限公司，四川德阳618013)

0 引言

蜗轮副传动机构为常用减速机械设备中的一种，是以蜗杆为主动件、蜗轮为从动件构成的，并以蜗杆中心轴与蜗轮中心轴交错90°传递运动与动力的机械装备。该机械结构具有传动比大、传动平稳以及结构尺寸紧凑等优点，在机床工业、冶金机械、矿山机械、起重机械以及船舶和仪器等设备中得到广泛应用。由于蜗轮副啮合处的表面为复杂曲面，在设计时，过程繁琐、效率低下，对于设计者来说，选用Inventor实现制作“数字样机”去颠覆实物样机，可试验在各种预计工况下的安全稳定性等在过去只有用实体产品才能完成的任务。凭借Inventor较为人性化的的图形处理方式，将基于该软件的蜗轮副建模方法应用于生产实践中，方便设计者清晰地表达设计意图，实现从数字模型到产品实体的无缝连接(见图1)。

1 蜗轮副建模的理论基础

图1 数字蜗轮副减速器、蜗轮副蝶阀

参数化建模是指利用设计对象确定基础数据，就会自动生成与其相关的尺寸，从而完成快速、准确的造型设计。在蜗轮副中，只有当模数相同、蜗杆的导程角与蜗轮的螺旋角大小相等且方向一致时，才能使蜗杆螺旋齿逐渐与蜗轮齿啮合，这就要求相关参数之间满足严谨的传动关系。鉴于这个原因，蜗轮副在Inventor中采用的是参数化建模。

表1 标准模数与蜗杆的特性系数

一般来讲，蜗杆上只有一条螺旋线的称为单头蜗杆，即蜗杆旋转一周，蜗轮相应的旋转一个齿，若蜗杆上有两条螺旋线，就称为双头蜗杆，即蜗杆旋转一周，蜗轮转过两个齿。依此类推，通常，蜗杆头数用Z1表示(一般Z1=1～4)，蜗轮齿数用Z2表示，二者存在一定的关联。通常，蜗杆头数越多，传动效率越高，由于多头蜗杆加工困难。为了得到一个合理的蜗轮副参数，工程上推荐使用下列推荐值(见表2)。

由此可见，为了满足设计与实际生产的要求，只有当模数、蜗杆头数以及蜗杆的直径系数确定后，才能加工出合格的蜗轮副。

表2 蜗杆头数与蜗轮齿数荐用值

目前，在蜗杆传动机械中应用较多的是圆柱蜗杆传动，为了便于阐述，本文以常用的梯形齿廓蜗轮副为例，将成熟的蜗轮副加工方法应用到Inventor计算机辅助设计中(各部分尺寸参数如图2所示)。

图2 图2蜗轮副结构尺寸图

2 Inventor参数化建模方法

Inventor是美国Autodesk公司推出的一款融合直观的建模环境与功能设计工具的三维可视化实体模拟软件。在蜗轮副设计过程中引入该软件，可用于以下内容。

2.1 蜗杆加工轨迹的模拟

蜗杆在实际加工过程中，半角为20°的车刀做轴向直线运动，蜗杆毛坯材料做旋转运动，二者的合成运动所形成的车削轨迹即为阿基米德螺旋线(见图3)。

图3 蜗杆成型轨迹模拟图

在Inventor中，①创建蜗杆毛坯及螺旋扫掠工作轴→②创建蜗杆齿沟截面所在工作平面及截面参数→③设置齿沟截面螺旋扫掠参数并完成单头蜗杆螺旋齿沟的创建→④根据蜗杆头数，环形阵列螺旋齿沟→⑤渲染外形。

2.2 蜗轮加工轨迹的模拟

对于蜗轮的加工，常用类似于蜗杆的寡齿滚刀在沿其轴线上旋转切割，蜗轮按照一定的角速度转过的齿数与工作蜗杆的头数相匹配，使蜗轮分度圆旋转过的弧线长度等于滚刀的齿距，二者构成包络齿间运动所形成的偏交截面交线，即为蜗轮毛坯上的齿沟(见图4)。

图4 蜗轮成型轨迹模拟图

2.3 在Inventor中蜗轮副的有限元分析

有限元分析(FEA，Finite Element Analysis)能适应各种复杂曲面的计算，它的基本思想是将数字模型转换成数学模型，对真实的物理工况进行近似模拟。该数字模型在三维空间的体积就是数学模型的问题域，其表面就是问题域的边界。通过对问题域及边界的分析，得出数学模型的虚拟物理工况参数，同时评估数字模型过度设计或设计欠缺，通过修改模型的几何参数和材料参数，以设计——评估——修改——再评估——再修改，用这一循环迭代的过程去驱动设计参数，达到控制模型形状、结构的强度和刚度，使设计结果达到最优，实现数字蜗轮可展性建模。从而有效地减少对实物样机进行物理实验的依赖，最大限度地缩短产品的设计周期。

对于蜗轮副，适用于有限元法进行分析求解。基于将问题域离散化的思路，将数字模型分割成n个网格单元(以蜗轮为例，见图5)，形成有效节点与单元格，借鉴简单而又相互关联的单元，对高阶单元设定收敛门槛值(对于塑性材料，这个门槛值包括屈服强度和极限抗拉强度)，用有限个简单的单元来表达复杂的对象，单元之间通过h-收敛法或p-收敛法进行收敛求近似解，综合这些单元格，累计近似解，将结果整理为以一定颜色梯度的变形图、等值分布云图，最后列表输出所需数据和搜索结果的极值，由此判断应力分布趋势和设计弱点，完成对数字蜗轮的评估。

图5 蜗轮网格划分

2.4 在Inventor中蜗轮副静应力分析(以蜗轮为例)

首先，将蜗轮划分为n个有限网格单元(即问题域的离散化过程)，单元之间通过公共点相连，取其中一个平面单元进行有限元分析(见图5)，则单元内部任意一点的位移可由它节点的位移来确定。假定单元内部的位移是线性变化的，那么任意一点的x、y方向的位移(u、v)，用线性函数表示为:

其中:Ni、Nj、Nk——形函数，在节点 i处，Ni=1;在其他节点处，其值为零。它们是坐标x、y的函数，用它去定义的未知量(u、v或x、y)在相邻单元之间是连续的。

坐标线性函数转化为单元格的矩阵为:

此时，描述单元格位移的应力矩阵为:

其中:E——蜗轮材料的弹性模量，GPa;μ——泊松比。

此时，单元格的刚度矩阵为:

其中:A——单元格的截面积;l——单元格的几何中心旋转半径

利用虚功方程建立作用于单元上的节点力与节点位移的关系(即单元的刚度方程)，

综合所有单元格的刚度方程，建立整体刚度矩阵，求出未知节点位移，

以累加方法综合所有单元格近似解，由应力分析环境，以一定的色带梯度描述蜗轮结构上的位移、应力、应变，完成静态应力分析(见图6蜗轮静态应力等值分布云图)。蜗轮应力分析计算产生的结果在结构中，以等值线的形式显示应力分布，由此确定最大应力值，依据应力值大小及设计中常用材料强度理论，确定判定蜗轮在该应力条件下是否安全。需要说明的是，有限元分析结果模拟的前提是基于构件的材料为线弹性的、变形假设为微小的、约束简化为固定不变等理想状态。

图6 蜗轮静态应力等值分布云图

3 结论

本文探讨了蜗轮副基于Inventor三维建模及静应力分析的应用，采用这种方式，缩短了概念设计到直观造型的过程;可以快速检验设计结果。应用Inventor平台简化了繁琐的前期设计工作，更专注于蜗轮副后期加工失误的预判，便于及时纠正产后的错误结果。Inventor三维辅助设计平台，为机械数字设计、数字制造、数字装配、应力分析以及后期实物生产加工，营造了一个高效、稳定的设计环境。

［1］祖业发.画法几何及机械制图(机械类)［M］.重庆:重庆大学出版社，1997.

［2］王树人，刘平娟.圆柱蜗杆传动啮合原理［M］.天津:天津科学技术出版社，1982.

［3］唐湘民.Autodesk Inventor有限元分析和运动仿真详解［M］.北京:机械工业出版社，2009.

［4］徐涛.数值计算方法［M］.沈阳:吉林科学技术出版社，1998.