基于威布尔分布并联模型的发动机可靠性分析方法

古莹奎，周志博

GU Ying-kui，ZHOU Zhi-bo

（江西理工大学 机电工程学院，赣州 341000）

0 引言

对车用发动机来讲，长期积累的故障数据是庞大的，如何从海量的故障数据中发现设备的故障规律或对发动机的寿命做出合理的预测，对提高其可靠性、降低使用成本有着积极的意义。在进行其可靠性分析过程中，关键问题在于如何能够寻找确切反映系统失效机理并与失效数据的分析结果相符合的失效分布规律。常用的方法是将故障或失效数据拟合成某种分布形式，在确定出各分布参数之后，对失效数据进行可靠性评估和预测。威布尔分布对于各种类型的可靠性数据拟合能力很强，是可靠性分析技术中使用最为广泛的一种数学模型。文献[1,2]总结了多种威布尔模型及其特征，如混合分布模型、分段模型和竞争风险模型等。文献[3]提出了一种混合威布尔分布参数估计的L-M算法。文献[4,5]总结了多种改进威布尔模型及其概率图特征，并且提出了对于给定失效数据选取相应模型的方法。文献[6]详细讨论了两重混合威布尔模型、两重分段模型和两重竞争风险模型的概率图特征及其参数的图估计法。文献[7]提出了一种威布尔分布下平均寿命置信限的评估方法。本文在在简单weibull分析方法的基础上，进一步采用weibull并联模型对曲柄连杆机构失效数据进行分析，并采用作图法估计分布参数，更为精确地描述机构寿命周期内失效分布曲线，掌握其失效规律，为发动机的可靠性指标计算提供必要的统计信息。

1 威布尔分布的数学模型

1.1 标准的威布尔分布模型

标准威布尔分布模型用于描述某零部件在单一失效模式下的故障发生规律。若随机变量T为服从威布尔分布时，其失效分布函数为：

威布尔分布密度函数和失效率函数分别为：

式中：γ为位置参数，表示分布曲线的起始位置，η为尺度参数，又称为特征寿命，β为形状参数，β取不同值时，威布尔曲线有不同的形状。β〈1时，失效率随着寿命的增长而下降，适用于描述为早期失效；β=1时，失效率为常数，适用于描述浴盆曲线的平坦部分；β〉1时，失效率随着寿命的增长而明显上升，适用于描述疲劳和磨损失效。当γ=0时为两参数威布尔分布，从t = 0时刻开始描述失效状态。

1.2 威布尔分布并联模型

由两个两参数威布尔分布形成的并联模型的累积失效分布函数F(t)为：

事实上对于两参数威布尔分布来说，即使F1(t)精确地等于F2(t)时，F1(t)=(F1(t))2也不会退化为一个单威布尔分布。其可靠性函数为：

2 威布尔参数估计的回归分析方法

回归分析是数理统计中建立在对研究对象进行大量试验和观察的基础上，解决变量之间关系的一种方法。线性回归是描述两个变量之间关系的最简单模型。对于给定训练样本集，{(xi,yi),i=1,2,...,n}其中，xi为输入值，yi为对应的目标值，n为样本数，设f(x)为通过对样本集的学习而构造的回归估计函数：

利用样本集求出回归系数w和b，常用的方法是最小二乘法。

威布尔分布的失效分布图并不是线性关系，为了用回归分析法解决问题，可以将它们变换成线性关系。对威布尔分布的失效分布函数进行如下变换：

用最小二乘法计算A和B的估计值，然后计算β、η的估计值。

回归分析方法比较简单，容易实现计算机编程。为检验回归分析的准确程度，可以进行线性相关性检验。线性相关性检验用于检验变量x与y之间是否真正存在线性相关性。线性相关系数为：

线性相关系数越接近于1，x与y之间的线性关系越强，即回归分析的准确程度越高。

3 曲柄连杆机构失效数据威布尔分析方法

曲柄连杆机构作为柴油机的重要组成部件，对柴油机的性能及可靠性起着极其重要的作用，一旦出现问题就会造成整机的瘫痪甚至报废，这将直接影响设备的运转甚至导致十分严重的后果。对曲柄连杆机构进行寿命周期内可靠性试验及失效分布分析是掌握其失效规律与提高其可靠性的重要途径和方法。以6108ZQ机曲轴止推片为对象，探讨其失效规律。

3.1 曲轴止推片的失效数据统计

收集使用过程中的各失效故障数据、维修记录数据、反馈信息以及发动机试验中的各种失效的详细数据。表1是曲轴止推片的故障统计数据，为了便于从总体上了解曲轴止推片的故障分布规律变化曲线，绘制了分段失效分布图，如图1所示。

表1 6108ZQ柴油机曲轴止推片失效分布统计表

从图1中可以看出，在早期阶段（里程数小于5000km），失效率相对较高，主要是因为曲轴止推片在这一阶段处于磨合期，存在一些装配配合与磨合问题，导致曲轴止推片发生磨损、调整不当等故障。在100000km以后，失效率相对变高，主要故障原因呈现为曲轴止推片的异常磨损和断裂。此外，从失效率曲线可以看出，该失效率比较符合浴盆曲线的特征，因而可用威布尔分布对曲轴止推片的失效数据进行分析。

图1 分段失效分布图

3.2 曲轴止推片失效数据的威布尔分析

对失效数据按失效里程先后顺序排序后，由公式(7)可得：

其中：i表示该失效数据的排序编号，ti表示第i次失效的里程（km），F(ti)表示第i次失效对应的失效概率，n为所取台机总数。

将变换后的失效数据绘制的WPP图上，如图2所示。

图2 失效数据的WPP图

采用回归分析法求所拟威布尔分布参数，由公式(9)～(11)可求得简单威布尔分布参数由该简单威布尔分布函数拟合的失效数据图如图3所示。

从图中可以看出，失效数据在WPP中明显不分布在一条直线附近，即失效数据不太符合简单的威布尔分布，也就是说“t1,t2,...,tn来自某个威布尔分布母体”的假设不成立。因此，对失效数据采用简单的威布尔模型进行参数估计以及分布拟合是不太合理的。由此对曲轴止推片失效数据选择由两个两参数威布尔分布形成的并联模型进行拟合。

图3 简单威布尔拟合的图形

采用威布尔并联模型建模，并采用WPP法估计参数，其步骤为：

1）将图3拟合的图形两端各画一条切线，令LR和LL分别表示右切线和左切线，βR和βL分别表示右切线和左切线的斜率，如图4所示。

图4 WPP参数估计分析

由图4可知，βR=0.5747，βL=4.2。

2）由于βL＞2βR，所以有[1]：

可得：β1=0.5747，β2=3.6253。

3）令In(ηk)和In(ηL)分别是LR和LL在x轴上的截距，由图可知，In(ηR)=8.95，In(ηL)=7.9。又由于：

可得：η1=7703.1，η2=2283.6。

4）通过WPP参数估计，获得曲轴止推片失效分布函数为：

表2给出了简单威布尔模型和威布尔并联模型在取不同失效数据范围下的偏差SSE和ASE的对比，其表达式分别为式(13)和(14)。

表2 简单威布尔模型和威布尔并联模型对比

图5 简单威布尔模型与并联模型失效点对比

图5显示了简单威布尔模型与威布尔并联模型对失效数据点的拟合程度。从图中可以清晰的看出威布尔并联模型在大部分的失效阶段对实际失效数据点的贴近程度都高于简单威布尔分布模型，这充分说明采用威布尔并联模型对曲轴止推片寿命周期内失效数据进行分析是优于简单威布尔分布模型的。

4 结论

本文通过对发动机曲轴止推片失效数据的分析，证明采用简单Weibull失效分布不能较好的拟合失效数据点，特别是在早期和中期故障阶段。因此，采用并联Weibull失效分布模型对数据进行分析。给出了两种参数估计的方法，并详细描述了使用WPP作图法分析求解的过程。结果表明，采用并联Weibull能较好的拟合失效数据，偏差大大低于简单Weibull失效模型。

[1] 蒋仁言.威布尔模型族－特性、参数估计和应用[M].北京：科学出版社,1998.

[2] Bucar T,Nagode M,Fajdiga M.Reliability approximation using finite Weibull mixture distributions[J].Reliability Engineering & System Safety,2004,87(3)：241-251.

[3] 凌丹,黄洪钟,张小玲,蒋工亮.混合威布尔分布参数估计的L_M算法[J].电子科技大学学报,2008,37(4)：634-636.

[4] Murthy D N P,Bulmer M,Eccleston J A.Weibull model selection for reliability modeling[J].Reliability Engineering& System Safety,2004,86(3)：257-267.

[5] Pham H,Lai C D.On recent generalizations of the Weibull distribution[J].IEEE Transactions on Reliability,2007,56(3)：454-458.

[6] Jiang R Y,Murthy D N P.Reliability modeling involving two Weibull distributions[J].Reliability Engineering &System Safety,1995,47(3)：187-198.

[7] 李学京.威布尔分布下平均寿命置信限的评估方法研究[J].应用概率统计,2010,26(1)：47-56.