命题与定理

■周家胜

命题与定理

■周家胜

所谓命题，就是判断的语句形式。

由于人们的认识常受到各种条件的限制，难免发生错误，因而作出的判断有符合客观事实的，也有不符合客观事实的。这样，命题也就有真有假之分。这就是说，命题并不一定都具有真理性，它可以是错误的判断。比如“连续函数必可导”这个判断是错误的，但仍然可以作为一个命题看待，只不过是一个假命题罢了。因而命题最基本的特点就是可以谈论它的正确与否。一个命题是正确的，我们就说它是真命题；要是不正确，我们就说它是假命题。不管是真命题还是假命题，都是命题。像“三辆卡车”、“在公园里散步”这一类话，不好说它正确不正确，就不是命题了。

在教学中，常在一些判断语句之前冠以“定义”、“公理”、“定理”的字样，它们都是一些特殊的命题。定义是揭示概念本质属性的命题。公理是经过无数次实践检验确认为真理而不需证明的命题。定理是经过逻辑推理证明后能确认为真理的命题。

在数学书籍或文章中，是否标明“定义”、“公理”、“定理”的字样，只是形式而不是本质问题。

同一个内容的命题，在有些书籍或文章中标为定理，在另一些书籍或文章中则标为命题，这并无原则的区别，只是作者在其理论体系上的安排不同，因而这个命题在其理论体系上的作用或重要性稍有不同而已。有时作者为了证明某一个重要定理，需要引用某个或某些过渡性的命题作依据，以简化证明过程，就把这个或这些命题标为“引理”。引理可看作是此时此地必须用到而别处则不常用到的定理。当然这只是“可看作”而已，并非一定的规矩。

在一个理论体系中，凡作为“定义”、“公理”、“定理”的命题必须是真命题，就是说其内容必须是客观真理；否则，这个理论体系的科学性就无法保证。如此说来，我们的学生常有这样的说法：“这个定理不成立”、“这个定理的逆定理不成立”，都是不恰当的，至少是有语病的。既然是定理，其内容必为客观真理，怎么又不成立呢？这不是自相矛盾吗？由于命题可真可假，如果将这些说法改为“这个命题不成立”，“这个定理的逆命题不成立”，或者改为“这个命题不真”，“这个定理的逆命题失真”，就恰当了。总之，我们不能把命题和定理混为一谈。

武汉市交委教育培训中心）

责任编辑 姚远