例谈边界磁场中的极值问题

2011-03-20胡玉涛

物理通报 2011年7期

胡玉涛

(徐州市第二中学江苏徐州 221000)

带电粒子在磁场中的运动既是高中物理教学的难点，又是高考的热点．它考查了学生综合分析能力、理解能力、空间想象能力和运用数学处理物理问题的能力．特别是几种边界磁场的极值问题，如何根据题设条件确定粒子运动的临界条件，准确确定粒子在临界情况下的运动轨迹是解决极值问题的关键．对于边界磁场一般包括以下几种:平行边界、三角形边界、圆形边界、环形边界和圆弧组合型边界．下面就这几种边界磁场进行归类分析，探究总结处理极值问题的有效方法．

1 平行边界

【例题1】如图1(a)所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里．有一带正电粒子从ad边的中点O垂直磁场射入，速度为v0并与ad边夹角θ=30°．已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为l，ab边足够长，粒子重力不计，求粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围．

图1

解析:由题意可知，当粒子的速度较大时，由于粒子做圆周运动的半径较大，则粒子会从dc边射出;若粒子的速度较小，则粒子做圆周运动的半径较小，粒子则会从ad边射出．因此为了满足粒子能从ab边射出磁场，其临界条件是:

(1)粒子到达dc边时的瞬时速度与dc边相切，相应速度为v01，如图1(b)所示．则

(2)粒子到达ab边时的瞬时速度与ab边相切，相应速度为v02，如图1(c)所示．则

所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足

2 三角形边界

【例题2】在边长为2a的△ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场．有一带正电荷q，质量为m的粒子从距A点槡3a的D点垂直AB方向进入磁场，如图2(a)所示．若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件．

解析:(1)设粒子的速率为v1时，其圆轨迹正好与AC边相切于E点，如图2(b)所示．由图知，在

所以

因此则粒子能从AC间离开磁场，其速率应大于v1．

(2)设粒子速率为v2，其圆轨迹正好与BC边相交于F点，与AC相交于G点，易知A点即为粒子轨迹的圆心，如图2(c)所示．则

所以

则粒子从AC间离开磁场，其速率应小于等于v2．综上，要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足

图2

3 圆形边界

【例题3】在真空中半径r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁感应强度B=0．2 T，方向如图3(a)所示．一带正电的粒子以v=1．2×106m/s的初速度从磁场边界上直径ab端的a点射入磁场．已知粒子比荷，不计粒子重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少?

图3

解析:带电粒子在磁场中的运动时间由粒子运动轨迹所对圆心角的大小决定．又因为粒子在圆形磁场中运动，所以其圆弧轨迹所对的弦既是其轨迹圆的弦，又是圆形磁场的弦．当弦最长时，对应的圆心角最大，因此粒子从a点入射从b点射出时，粒子运动时间最长，如图3(b)所示．

得θ=74°

4 环形边界

【例题4】核聚变反应需要几百万摄氏度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应)，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)．如图4(a)所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内．设环状磁场的内半径为R1=0．5m，外半径为 R2=1．0 m，磁场的磁感强度 B=1．0 T．若被束缚带电粒子的比荷为，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算

(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度;

(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度．

解析:(1)要使粒子沿环状的半径方向射入，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切，轨迹如图4(b)所示．由图知