Matlab在中学物理教学中的应用初探

2011-03-20周小奋

物理通报 2011年10期

周小奋

（镇江市第四中学江苏镇江 212000）

目前，在中学物理教学与研究中常用到Powerpoint，Excel，几何画板等辅助教学软件．这些软件在教学中体现出直观性、趣味性、大容量的优点；其中的Excel软件处理数据更具有快捷、简易的优点．但对于精度要求较高的作图或是比较复杂的数据计算，上述软件就不能满足需要了．

Matlab是美国Mathworks公司开发的计算及分析软件．这个软件具有如下特点：（1）作图功能强大，能够准确而科学地反应物理问题的本质．（2）运算功能强大，语句简洁清晰．目前这个软件在中学物理教学和研究中应用较少，本文通过实例介绍矩阵实验室（Matlab）在作图和求解极值问题中的应用．

1 利用Matlab画出共线点电荷系统的电场线分布

【例1】如图1所示为三个点电荷所构成的系统，其中一个点电荷－2q位于坐标原点，一个－q位于（0，a）点，一个＋3q位于（0，－a）点，画出x Oy平面内的电场线．

图1

解析：在x Oy平面内，电场强度应满足

解得

在上式中，常量C取不同数值时将得到不同的电场线方程．如果用常规方法解出y＝f（x）的表达式再去作图难度很大．用Matlab语言即能轻松地做到这一点．依据上述表达式，编制的Matlab程序如下：

clc；clear； %清除内存

syms x y ； % 定义符号变量x y

for C＝0：0．2：5； % 常数c取0，0．2，0．4，

0．6，…，5．0

h＝ezplot（3＊（y＋1）／sqrt（（y＋1）?2＋2）－2＊y／sqrt（2＋2）－（y－1）／sqrt（（y－1）?2＋2）－C，［－2，2，0．1］）； % 在规定的区间上画出满足方程的函数图像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，1）%设置电场线的宽度为1，颜色为红色

title（′＼fontname｛宋体｝＼fontsize｛11｝三个共线电荷周围的电场线分布′）；%加标题

hold on； %保持已经画出的电场线

end %循环结束

grid on； %加网格线

运行程序，得出的电场线分布如图2所示，由于常数C的取值对所画出的图像影响较大，而程序中所设定的取值点覆盖面有限，所以在图2中有部分区域没有画出电场线．

图2 三个共线电荷周围的电场线分布

【例2】如图3所示为两个点电荷所构成的系统．其中一个点电荷＋q位于（0，a）点，一个＋q位于（0，－a）点．画出x Oy平面内的电场线．

图3 两个点电荷系统

解析：根据例1中三个电荷的电场线方程，可以得到本题中的电场线方程为

根据方程编制的Matlab程序如下：

clc；clear； %清除内存

syms x y ； % 定义符号变量x y

for C＝－3：0．1：3； % 常数c取－3，－2．9，

－2．8，－2．7…，3．0

h＝ezplot（（y＋1）／sqrt（（y＋1）?2＋x?2）＋（y－1）／sqrt（（y－1）?2＋x?2）－C，［－2，2，0．1］）；%画出满足方程的函数图像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，1）%电场线的宽度为1．

title（′＼fontname｛宋体｝＼fontsize｛11｝两个正点电荷周围的电场线分布′）；%加标题

hold on； %保持已经画出的电场线end %循环结束

运行程序，得出的电场线分布如图4所示．此时可以发现，有一条电场线位于两电荷连线的垂直平分线上（对应的C的取值为零）．这与课本上的电场线分布图（图5）不同，课本上没有这一直线，这是什么原因呢？

图4 两个正点电荷周围的电场线分布

在两个等量正点电荷连线的中点上，场强为零，因此在中点处不能画出电场线．而该点的邻域有电场存在，只是越靠近中点场强越弱，所以画出的电场线将在该中点处中断，中点可以看作是一个使电场线不连续的奇点．文献［1］建议，最好不要沿这两个电荷的中垂线画电场线，如果一定要画，那这两根电场线只能趋近于中点，而不能到达中点．因此，教材中没有画入这两条惹麻烦的电场线，采用了图5所示的画法．

图5 两个正点电荷周围的电场线分布

2 利用Matlab的作图功能求解极值问题

【例3】如图6所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3．0 m的墙外，从喷口算起，墙高为4．0 m．若不计空气阻力，取g＝10 m／s2，求所需的最小初速及对应的发射仰角．

图6 水枪喷水高度与水平距离示意图

解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图6所示的直角坐标，本题的任务就是求出水流能通过点A（d，h）的最小初速度和发射仰角．根据平抛运动的规律，水流的运动方程为

把A点坐标（d，h）代入以上两式，消去t，得

依据上述表达式，编制的Matlab程序如下：clc；clear； % 清除内存

syms p alpha q； %定义符号变量p alpha q q＝atan（4／3）＊180／pi； %发射仰角的最小值q p＝q：0．01：90； % 发射仰角从q开始每次增加0．01°

alpha＝p＊pi／180； %将发射仰角转换为弧度v＝3＊（5）?0．5＊（（cos（alpha）．?2）．＊

（3＊tan（alpha）－4））．?（－1／2）；%算出每一个发射角对应的速度

h＝plot（p，v）； % 画出发射仰角－速度图像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，2）%设置图像曲线为红色，宽度为2

xlabel（′发射仰角（°）′）； % 横坐标标签ylabel（′发射速度（m·s－1）′）； % 纵坐标标签title（′＼fontname｛宋体｝＼fontsize｛11｝发射速度及对应的发射仰角的关系′）；%加标题

grid on； % 加网格线

图7 发射速度与发射仰角关系

因为在Matlab的三角函数运算中，只能使用弧度，所以在上述程序中首先要将角度转化成弧度．运行程序，得出的速度与发射仰角关系如图7所示（横坐标为角度，纵坐标为速度）．在图像上取出的最小速度约为9．487 m／s，对应的发射仰角约为71．6°，和理论计算的结果完全一致．

【例4】如图8所示，水平地面上的物体m2质量为2 kg，与水平地面右侧边缘间的距离为2 m，m2与水平地面间的动摩擦因数μ＝0．5，绳子末端悬挂着一个质量为1 kg的物体m1，两个物体之间通过一根绕在滑轮上的轻质细绳相连．滑轮顶端距离地面1 m，滑轮的轮轴之间没有摩擦．当m2的速度最大时，m2向右移动了多远？