基于改进型伴随方法的高超声速飞行器上升段轨迹优化①

马广富，佘智勇

(哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨 150001)

0 引言

高超声速飞行器不同于普通飞机，其具有比普通飞机更高的飞行速度和高度，在稠密大气层内以较高的速度运动，在一系列战略战术武器中具有应用前景的同时，引入了大量的工程技术难题。因此，与其相关的轨迹优化与指导控制问题，近年来受到工程技术人员广泛关注，但现有文献多为高超声速飞行器再入段制导［1］，且多数为采用直接参数优化方法求解最优制导轨迹［2－3］。

本文重点研究以固体火箭发动机为动力系统的高超声速飞行器上升段轨迹优化问题，基于最优控制理论，利用改进型伴随方法，间接解析在线生成最优制导指令。

1 改进型伴随方法

1.1 轨迹优化方法回顾

直接离线方法是近年来飞行器轨迹优化方法的主流［4］，此方法将控制变量进行离散化，同时按照优化准则，直接调整控制变量的值，直至获得满足性能指标要求的最优解，但求解过程需要的先验知识多，计算量大，计算耗时，并易陷入局部极小值，而使优化失败。间接法利用最优理论求解问题［5］，间接求解控制变量，可避免局部极小值的产生，但传统方法收敛速度难以保证，且对协态变量初始值较敏感［6］。与传统利用伴随方法求解最优控制灵敏度问题不同［7］，增强型伴随方法对前述2种方法进行了有机结合，对于具有一定先验知识的初始解，按照间接法逐次迭代，具有收敛精度高、速度快及控制变量平滑等特点。

1.2 改进型伴随方法

对具有以下形式的多输入、多输出系统:

对于某一近似满足初始边界与终端边界的轨迹，按照某种指标进行逐次的迭代，直至寻得最优轨迹为止。设Zk(t)，k≥0为前次迭代轨迹，那么，如果第k+1次迭代所产生的Zk+1(t)与Zk(t)满足如下关系:

式中 I∈Rn×n为单位阵;β∈Rn×n，0 ＜ ‖β‖≤1。

将2次迭代的误差表示成变分δZk=Zk+1－Zk，在Zk对F(Zk+1)做一阶泰勒展开:

可构造辅助方程:

其中，η∈Rn×1，那么

由辅助微分方程，利用已知的η(tf)，将其从tf到t0进行反向积分，可求取辅助变量的变化历程，可求得原方程状态的变分初始值为δZ(t0)，并以此为初始值积分:

由已知的当前状态，可求取更为满足约束的优化轨迹状态:

反复进行该过程，可得任意精度的最优轨迹。

1.3 改进型伴随方法的收敛性

由于存在关系式(2)，则式(7)必然满足:

2 数学模型

2.1 飞行器动力学模型

飞行器动力学方程描述如下:

其中

式中 V为无因次速度;h为无因次高度;θ为弹道倾角;P为单位质量的推力;X为沿速度轴向的单位质量空气阻力;Y为沿垂直速度轴向的单位质量空气升力;q=0.5ρV2为动压;ρ为大气密度;Cx为阻力系数;Cy为升力系数;M 为马赫数;α 为攻角;ai、bi、ci、di为常系数。

选取初始边界:

选取终端边界:

选取性能指标:

2.2 考虑约束的哈密顿函数及协状态

弯曲力矩是飞行器法向载荷的一种表现形式，从约束效果来说与直接攻角约束等价，但在理论处理过程中，弯曲力矩约束具有自己独特的形式。

定义攻角和动压的乘积为飞行器所受的弯曲力矩，不失一般性，如果令:

为弯曲力矩约束，则哈密顿函数变为

式中 qs为海平面大气压;BMmax为最大弯曲力矩;λ1为约束项的拉格郎日乘子。

λ1满足:

则协态变量应满足方程:

3 上升段轨迹优化

将原系统状态进行增广，与协状态组成新的状态量为

做增广方程:

对其实施改进的伴随方法，得到系统前馈标称输入。取 ηh(tf)=［0 1 0 0 0 0］T，则

同理可得 Δθ、ΔλV，则由式(4)～ 式(6)可得到最优系统轨线。同时，由最优控制驻点条件及上述状态变量，可求得最优攻角指令。

上升段轨迹优化流程:

(1)选取初值Z0(t);

(2)积分方程˙Z=F(Z，t);

(3)求取雅克比矩阵，构造辅助伴随方程;

(4)取 ηh(tf)=［0 1 0 0 0 0］T，对辅助伴随方程进行反向积分，可得到ηV(t);

(5)由 ηθ(tf)=［0 0 1 0 0 0］T及 ηλV(tf)=［0 0 0 1 0 0］T可确定另外2组条件;

(6)为计算考虑，为终端误差增加调整因子，求解方程组:

(7)计算新的初始值:

(8)重新积分增广状态方程，如满足精度要求，则结束;否则，返回步骤(2)。

4 算例

选择垂直发射，到18 500 m时具有终端4°弹道倾角，并且达到最大能量的飞行任务，具体参数见表1。

表1 大气层内上升段带弯曲力矩约束仿真参数Table 1 Parameters for atmospheric ascent with bending moment constraints

在飞行过程中，带有过程约束和末端零攻角约束以及弯曲力矩约束，选取无弯曲力矩约束及不同数值弯曲力矩约束曲线对比分析见图1、图2。整个飞行过程在没有碰到约束边界时变化不大，一旦触及约束边界，作为控制量的攻角强制发生变化，在具有弯曲力矩边界约束的状态及协状态动力学方程作用下，各状态及协状态均发生变化，并由图1和图2可看出，在此类飞行器，此种飞行任务下，伴随方法可智能的寻找最优约束，而非简单的沿着约束边界运动。究其原因在于哈密顿函数对于攻角不是单调函数，在最大攻角与最小攻角之间，哈密段函数存在极小值，且此极小值比边界攻角上的哈密顿函数值更小。

5 结论

本文提出了一种改进型的伴随方法，基于该方法对大气层内高超声速飞行器进行了高精度、快速轨迹优化;与直接参数化方法相比，改进型的伴随方法具有收敛精度高、收敛速度快、控制变量平滑等特点，能避免局部极小值的产生;与传统伴随方法相比，减小了对协态变量初始值的依赖，增大了协态变量的收敛域，具有直接快速在线优化飞行器运动轨迹，实现闭环制导的潜力。同时，在约束条件存在条件下，伴随方法仍能对上升段轨迹进行优化，且快速而有效。

图1 弯曲力矩约束对高度、速度、弹道倾角及攻角的影响Fig.1 Effect of bending moment constraints on altitude，velocity，flight path angle，and angle of attack

图2 弯曲力矩约束随时间变化过程Fig.2 Bending moment history vs time

［1］Zhu J J，Banker B D.X－33 ascent flight control design by trajectory linearization－a singular perturbation approach［R］.AIAA 2000－4159.

［2］Peter Friedrich Gath.Camtosa software suite combining direct and indirect trajectory optimization methods［M］.Ph.D.Dissertation，Institut für Flugmechanik und Flugregelung，Universität Stuttgart，German，2002.

［3］Hao Zhou.Optimization of glide trajectory for a hypersonic vehicle［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2006，32(5):513－517.

［4］丁洪波，等.亚轨道飞行器上升段轨迹优化与快速重规划［J］.宇航学报，2009，30(3).

［5］Roger R B.Variational problems and their solution by the adjoint method［R］.Technical Memorandum X－53459，1966.

［6］赵吉松，谷良贤，潘雷.月球最优软着陆两点边值问题的数值解法［J］.中国空间技术，2009，29(4):21－27.

［7］Fouad Hanna V，Wiart J，Wong M F，et al.Optimization of the homogenization of tissues using the adjoint method and the FDTD［C］//2008 IEEE MTT－S International on Microwave Symposium Digest，June，2008.