功能梯度材料梁在后屈曲构形附近的自由振动

李清禄，李世荣

(兰州理工大学 理学院，兰州 730050)

众所周知，当压力超过临界值后，梁将产生超出原直线平衡状态的后屈曲［1，2］。从梁的振动理论可知，轴向力的作用将会对梁横向振动的固有频率产生影响，因此研究弹性直梁在屈曲前后的自由振动具有现实的工程背景。文献［3，4］已对轴向力作用下均质弹性直梁在屈曲前的横向自由振动进行了研究。功能梯度材料(functionally graded material，FGM)是一种非均质复合材料［5］，在航空航天、汽车、生物及核工业等领域有广阔的应用前景。同时，由于该种材料在结构中各组分呈连续变化，不存在明显的界面与性能的突变，因此具有优于一般层叠型功能材料的特性。近年来，FGM结构已引起国际学术界的广泛关注［6-8］。由弹性稳定性线性理论可知，结构在面内载荷作用下一阶固有频率为零时意味着结构发生分岔失稳。但结构进入后屈曲状态后还会表现出继续承受横向载荷的能力，此时其自振频率如何变化，特别是在后屈曲构形附近各阶频率如何变化，目前还缺少定量的研究结果。对于均匀梁在后屈曲附近的自由振动问题以后一些研究结果，文献［9］根据可伸长梁的几何非线性理论，建立了加热弹性梁振动的动力学方程，研究了梁在基本热过屈曲构形附近的各阶小振幅振动模态及其频率响应，并给出了频率与升温参数的关系曲线。文献［10］建立了轴向载荷作用下弹性梁横向振动的动力学方程，研究了梁在基本过屈曲构形附近的各阶小振幅振动模态及其频率响应，给出频率与轴向力参数的关系曲线。

本文在上述文献的基础上，根据可伸长梁的几何非线性理论，建立FGM梁在轴向载荷作用下的几何非线性动力学控制方程，然后，在小振幅振动假设下将控制方程进行线性化处理，得到FGM弹性梁在后屈曲构形附近微幅振动的控制方程。采用打靶法数值求解所得强非线性边值问题，获得一端可移简支一端固定的FGM Euler梁在后屈曲构型附近的频率响应，给出频率与轴向力参数的特征关系曲线。

1 问题的数学模型

考虑由功能梯度材料制成的Euler梁，初始长度为l，宽度为b，厚度为h。其一端可移简支、一端固定，受水平压力p作用。上表面为纯陶瓷，下表面为纯金属，中间是由陶瓷到金属的连续过渡。假设功能梯度梁的物性参数沿厚度按幂函数形式连续变化。

1.1 本构方程

假设陶瓷材料的体积分数为:

FGM的等效物性参数可表示为:

其中Xc及Xm分别表示陶瓷和金属材料的物性参数，n称为FGM的梯度指标。

由Kirchhoff平截面假设，横截面上任意一点的正应变为:

其中R为轴线伸长率。

应力应变表示为:

其中E(y)为FGM梁的弹性模量，由式(4)可得FGM梁的弹性模量为:

其中Ec和Em分别为陶瓷材料和金属材料的弹性模量。

轴力N和弯矩M分别为:

1.2控制方程

将惯性力看作分布载荷，可得FGM梁在对称平面内自由振动的动力学控制方程:

其中:t为时间变量;x为水平坐标，与梁未变形时的轴线重合;u(x，t)和w(x，t)分别为轴线上物质点在水平和铅直方向的位移;θ(x，y)为变形后轴线切线与轴的夹角;H(x，t)和V(x，t)分别为内力合力在水平和铅垂方向的分量;M为弯矩;I0，I1分别为梁轴线伸长后单位长度的质量分布和单位长度的转动惯性矩;R为轴线伸长率。

其中:

引入无量纲变换:

可得无量纲控制方程:

方程(11)为轴向力作用下FGM Euler梁几何非线性自由振动的动力学控制方程精确数学模型。这是一个包含六个基本未知函数的强非线性偏微分方程的混合问题，其中还考虑了转动惯性力的影响。

2 过屈曲梁的小振幅自由振动

为了讨论梁在静态过屈曲构形附近的自由振动，先将方程(11)的解表示为:

其中:Us，Ws，θs，Hs，Vs，Ms为梁的静态后屈曲问题解

2.1 静态部分控制方程

静态轴线伸长率Rs为:

2.2 动态部分的控制方程

Ud，Wd，θd，Hd，Vd，Md为梁的振动问题解。这里只研究后屈曲梁的线性振动问题，为此，在振动方程中令sinθd= θd，cosθd=1，并只保留动态响应函数的线性项。并假设线性振动系统的动力响应模式为:

则得FGM屈曲后梁小振幅振动的控制方程:

如果令Hs=0，Us=Ws=θs=Vs=Ms=0，则上述方程退化为屈曲前梁的线性振动问题。

2.3 边界条件

静态后屈曲问题及其振动问题的边界条件为:

3 数值方法及结果

采用打靶法［7］求上述边值问题的数值解。将方程(12)和(14)联立求解，同时获得后屈曲状态解和振动解，需要求解的基本未知量总共有12个，其中包含频率参数ω。

在具体数值计算时，取梁的长细比λ=150。图1给出了一端可移简支、一端固定的Euler FGM梁在后屈曲构形附近小振幅振动的前三阶无量纲频率ω与轴向力P之间的特征关系曲线，其中虚线表示屈曲前的情况，实线表示屈曲后的情况。

结果表明，在屈曲前FGM梁的前三阶频率均随无量纲载荷单调递减，这是由于轴向压力的存在使梁的挠度增加，相当于减少了梁的刚度，使固有频率降低。在无量纲轴向压力达到临界载荷时，一阶振动频率接近于为零，但二阶以上频率在梁的临界失稳状态不为零。因为只有轴向载荷达到与振动模态相同的屈曲模态所对应的载荷特征值时，相应的高阶频率才为零。在相同的载荷下纯陶瓷梁(n=0)的固有频率最大，纯金属(n→∞)梁的固有频率最小，功能梯度材料梁的固有频率介于两者之间，且呈现相同的变化趋势。

图1 前三阶无量纲频率与载荷之间的关系Fig.1 Characteristic relationship between frequency ω and load P

另外，由图1可见，各阶频率与载荷的特征曲线都在P=Pcr处出现转折。这是由于结构的静态平衡构形在此处发生了分岔。而分岔点正是结构从原始直线平衡状态进入曲线平衡状态的转折点。从曲线的变化趋势来看，载荷对一阶频率的影响最为明显。结果表明FGM梁在屈曲前后自由振动频率受轴向力的影响较大。从变化速率来看，屈曲前二阶和三阶频率呈现为近似的线性关系。屈曲后一阶频率先增大然后有降低趋势，二阶频率先增大然后急剧减小，而三阶频率先减小后增加然后又减小。图1中在将功能梯度梁退化为均匀各向同性梁的情况下(n=0)可以看出，P=0处各阶无量纲频率分别为 ω1=15.411、ω2=49.923、ω1=104.027，与文献［11］中结果比较，可以看出两者十分接近。

4 结论

基于轴线可伸长理论，建立了FGM Euler梁在屈曲构形附近自由振动的几何非线性精确模型。在小振幅振动的假设下，由一般模型退化得到后屈曲FGM梁线性振动的控制方程。采用打靶法分别获得了一端可移简支一端固定FGM梁在屈曲前和屈曲后的前三阶无量纲固有频率随无量纲载荷变化的特征关系曲线。结果表明:

(1)梁在未屈曲时，各阶频率都随载荷而单调下降;当载荷达到临界值时，一阶振动频率为几乎接近于零;但是，二阶以上频率在临界载荷处大于零。

(2)屈曲后，一阶振动的固有频率先增大然后有降低趋势，二阶频率先增大然后急剧减小，而三阶频率先减小后增加然后又减小。

(3)随着梯度指数的增大，梁的固有频率降低。上述结果从理论上证明，可以通过控制载荷及其梯度指数的变化来实现对结构自由振动频率的调节。

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