时滞系统PID控制器参数稳定域的实现

方 斌

(南京理工大学自动化学院 南京 210094)

由于PID控制器算法简单、鲁棒性强，因而被广泛应用于化工、冶金、机械、热工和轻工等工业过程控制系统中。尽管工业自动化飞速发展，但是PID控制技术仍然是工业过程控制的基础[1-2]。在近十年，PID控制器参数三维稳定空间的研究取得了一批成果。文献[1]运用广义的Hermite-Biehler理论，对三参数控制器的稳定域进行系统研究；文献[2]重点研究了PID控制器的增益稳定范围问题；文献[3]采用D-分割法对含时滞对象进行PID控制器稳定域分析；文献[4]利用频率稳定判据给出二阶时滞过程时滞常数的上限条件和控制器参数的稳定域分析方法。文献[5]为PID控制器早期的重要成果之一，它明确给出了一阶时滞系统及在PID控制下增益平面上稳定的范围，通过遍历Kp，可确定PID控制器参数的三维稳定空间，为PID控制器的设计提供了完整的稳定域。

本文在文献[6]的基础上，运用广义Herm ite-Biehler定理，提出一种逆时针规律，给出一种基于逆Nyquist曲线，可快速确定PID控制器参数三维稳定域的方法以及算法实现的相关问题和基本步骤。该方法的基本过程是，首先确定系统比例增益稳定的范围，然后在该范围内通过遍历增益并寻找相应的平面上的稳定区域，从而给出一种时滞系统PID控制器参数稳定域的方法。

1 问题表述

2 稳定性判据

3 增益K P的稳定范围

确定 PID控制器的三维稳定空间，首先需要确定比例增益的范围，以便能有效地遍历增益KP。

3.1 PID控制下时滞系统稳定的必要条件

3.2 基于逆Nyquist图确定K P稳定域

3.3 逆Nyquist曲线频率范围选取

图1 逆Nyquist图与坐标轴交点

4 给定K P下K d-K i平面的稳定域

4.1 K d -K i平面稳定范围的确定

4.2 特殊情况的处理

4.3 确定K d -K i平面稳定域的“逆时针”规律

当序列I中元素数量l+1较大时，存在多个可能的序列I使式(12)成立；此时需要对每个满足式(12)的序列I运用式(13)，寻找可能存在的稳定区域。有的I所形成的稳定区域可能为空集，即使某I所形成的空间存在稳定区域，确定该稳定区域也显得比较繁琐和困难，本节将给出一种快速便利的确定方法。

在以Kd为横坐标、平面上，令序列I中元素i=1表示边界直线的方向为正，箭头向上；i=－1表示边界直线的方向为负，箭头向下。显然，对于一个稳定闭区域，若对每个边界直线按上述规律表示，那么稳定区域必在其边界的左侧，同时封闭的稳定区域边界形成的方向具有“逆时针”规律，如图2所示。

图2 逆时针规律

5 实现步骤

6 实 例

其中，序列I3，I4，I5不存在稳定区域，序列I1，I2所对应的稳定区域分别为P1、P2区域。

通过遍历Kp的稳定范围，可确定PID控制器参数的三维稳定空间，如图4所示。

图4 PID控制参数稳定域

以这些参数所设计的PID控制器，闭环系统都是稳定的；所对应的单位阶跃响应如图6所示。A、C、和D这3点所对应的单位阶跃响应曲线较为接近且综合性能较好，而积分增益较小的E点所对应的单位阶跃响应负超调过大，积分增益较大的B点所对应的单位阶跃响应相对稳定性较差。可见，若在稳定区域中心附近设计PID控制器参数，不仅能使系统具有较好的动态特性，而且能使PID控制器本身具有一定的非脆弱性。

7 总 结

本文所研究的算法首先根据对象的频率特性，确定用于稳定性分析所需的频率范围其次借助广义Herm ite-Biehler定理，在时滞对象的逆Nyquist特性上，运用引理3确定比例增益Kp的稳定范围。当针对多条边界直线，运用一种逆时针规律快速确定该二维平面上参数的稳定区域，从而给出了一种时滞系统PID控制器参数稳定域的方法，该方法可直接用于编程实现，本文论述了实现过程中所需解决的关键问题。另外，该方法基于时滞对象的频率特性，因而在对象数学模型未知时，只要能获取其频率特性，也可运用该方法和步骤，得出PID控制器参数稳定域的三维空间。

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编 辑 漆 蓉