函数与方程的思想在高考解题中的运用

●蒋际明 (湖州中学 浙江湖州 313000)

函数与方程的思想在高考解题中的运用

●蒋际明 (湖州中学 浙江湖州 313000)

1 高考展望

1．1 考点回顾

函数与方程是中学数学中的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想方法几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用．其基本思想方法是依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题．

在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，同时很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．譬如对于函数y=f(x)零点的问题可转化为方程f(x)=0的问题，也可以把函数y=f(x)看作二元方程y－f(x)=0，从而使函数与方程相互转化．

1．2 高考预测

纵观近几年的高考试题，对函数知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查一直是高考的重点和热点．在数学高考试卷中，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有能力要求较高的主观性试题．

在近几年的高考中，函数思想的应用主要体现在判断零点存在性、求变量的取值范围和研究不等式问题等方面;方程思想的应用主要体现为4个渐进层次:解方程、含参数方程讨论、将有关问题转化为对方程的研究和构造方程求解等．

笔者预测2011年高考对函数与方程思想的考查趋势:3个“二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的问题、基本初等函数性质的应用、函数的零点以及函数图像交点问题仍将会重点考查，高观点下的函数创新试题将会在中高档题或压轴题中出现，一般难度也较大．

2 典例剖析

2．1 运用函数与方程的思想研究函数零点问题

例1设函数f(x)=4sin(2x+1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是 ( )

A．［－4，－2］ B．［－2，0］

C．［0，2］ D．［2，4］

(2010年浙江省数学高考试题)

分析本题考查函数零点的概念，函数的零点、方程的根以及函数图像的交点之间的转化思想．函数f(x)的零点即为函数g(x)=4sin(2x+1)与h(x)=x图像的交点．在同一坐标系中作出2个函数的图像，易得出 g(x)=4sin(2x+1)在［－4，－2］内都大于0，h(x)=x在［－4，－2］内小于0，没有交点，于是函数f(x)在［－4，－2］内不存在零点．故选A．

2．2 运用函数与方程的思想求参数的取值范围

点评本题主要考查了函数、不等式以及由不等式恒成立求参数范围问题，体现了函数与方程思想的应用，是较为典型的恒成立问题．恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．

2．3 运用函数与方程的思想解决不等式问题

点评看到这个题目自然会想到直接将条件进行变形，这样就会变得相当复杂．而运用方程的思想构造二次方程并利用根的判别式，使问题很快得到解决．例4设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的2个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．当 x∈(0，x)时，证明:x＜f(x) ＜x．

11

分析在已知方程f(x)－x=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数f(x)－x的表达式，从而得到函数f(x)的表达式．

证明由题意可知

点评本题以二次函数为本源，选择了二次函数的两根式y=a(x－x1)(x－x2)，从而直接显示出二次函数与方程根的关系，利用二次函数的两根式证明不等式可以起到不必再因式分解就可以判断出差值正负的功效．

2．4 运用函数与方程的思想解决数列问题

例5设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则 d 的取值范围是＿＿ ．

点评本题虽然考查等差数列的前n项和公式，但解题中运用了一元二次方程有实根的判定方法，体现了函数与方程的思想．

2．5 运用函数与方程的思想解决解析几何题

(2010年浙江省数学高考试题)

例6已知椭圆C:1=1(a＞b＞0)的右顶点为A(1，0)，过 C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．

图1

(1)求椭圆C1的方程．

(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N．当线段AP的中点与MN中点的横坐标相等时，求h的最小值．

(2009年浙江省数学高考试题)

点评求参数的取值范围是解析几何中的重要问题．解决这类问题一般有2种途径:其一是建立目标函数，利用目标函数的定义域、值域、单调性等知识来解决;其二是构建一元二次方程，利用方程的思想，特别是运用根的判别式、韦达定理等知识，从而使问题巧妙解决．

精题集粹