平行四边形内点与边界点的平均距离
2011-01-23李寿贵韩汇芳杨佩佩
李寿贵,韩汇芳,杨佩佩
(武汉科技大学理学院,湖北武汉,430065)
1 基本定义
设K为平面中的紧凸区域,G为直线,当G与K相交时,称σ=λ1(G∩intK)为弦长,其中λ1为一维测度。当G仅与凸域K的边界∂K相交时(包括G∩∂K为线段的情形),约定σ=0。
定义1 设s为φ方向的单位向量,用σM(φ)表示垂直于s的直线G被凸域K截出的弦长的最大值,即
σM(φ)称为凸域K的最大弦长函数[1]。
定义2 设直线G的广义法式坐标为(p,φ)。对任意给定的σ≥0,称
为凸域K的广义支持函数[1]。特别地,p(0,φ)就是普通支持函数p(φ)。
定义3 设K为有界凸域,σ为K被G截出的弦长。考虑积分
式中:n为非负整数。In称为凸集K的弦幂积分,而序列{In}(n=0,1,2,…)称为凸集K的弦幂积分序列[1-2]。
引理1 设平面凸域K的面积为F,周长为L,则
2 凸域弦长的定义及计算公式
在音乐厅、会场的设计中,经常需要考虑声源到达墙壁再反射到听众的距离问题。研究人员关心这些距离值的分布,尤其关心距离的平均值[3-4],将其抽象为一个数学问题:设K为平面紧凸域,P为K中的一点,ϑ为一个方向角,r为点P沿方向ϑ到达边界点的距离。
定义4 设K为平面紧凸域,则凸域K的内点与边界点的平均距离定义为
定义5 设K为平面紧凸域,则凸域的平均弦长定义为[3-4]
设点P∈K,ϑ为方向角,则过点P沿方向ϑ将确定一条有向直线G*,G*所在的普通直线记为G。G*可以看成原坐标系中与x轴重合的轴o′x′经过刚体运动u(a,b;ϑ),将o′平移到P后的结果。设G*的广义法式坐标为(p,φ),自原点o引G*的垂线交G*于H点。对G*上任意两点A、B,约定用AB表示矢量AB在轴G*上的投影值,即当AB与G*同向时,AB=|AB|;当AB与G*反向时,AB=-|AB|。设G*与∂K依G*的方向交于两点P1、P2。令t=PH,r=PP2,则
由平面运动群的运动密度公式[1]及t=PP2+P2H=r+P2H可知:
定理1
证明
3 平行四边形内点与边界点的平均距离计算公式
以K表示两邻边分别为a和b、夹角为θ的平行四边形。不失一般性,可设,且a边平行于x轴。利用对称性,仅讨论的情形。
平行四边形的最大弦长函数为[1]
平行四边形的广义支持函数为[1]
根据式(10),平行四边形域的平均弦长
而
将上式4项依次记为I21、I22、I23和I24。为方便起见,分别计算I21,I22+I23,I24。将式(11)和式(12)分别代入I21,I22+I23,I24中得:
将式(15)代入式(13)得到以下定理。
定理2 平行四边形域的平均弦长为
这与文献[5]得出的结论一致。
[1] 任德麟.积分几何引论[M].上海:上海科学技术出版社,1988:3-8,71-73.
[2] Ren Delin.Topics in intergral geometry[M].Singapore:World Scientific,1994:70-78.
[3] Santalo L A.积分几何与几何概率[M].吴大任,译.天津:南开大学出版社,1991:40-89.
[4] 程鹏,李寿贵,许金华.凸域内两点间的平均距离[J].数学杂志,2008,28(1):57-60.
[5] 赵静,李德宜,王现美.凸域内弦的平均长度[J].数学杂志,2007,27(3):291-294.