浅谈欧拉公式的成因

郑 玉 敏

(黑龙江生态工程职业学院，哈尔滨 150025)

函数的幂级数展开式，因其具有规范的形式和特殊的性质，不只在近似计算中有广泛的应用，而且还可以利用它得到数学领域中一些重要的公式。这里借助函数的幂级数展开式，推导一个重要的公式——欧拉公式。

1 理论依据

(1)

成立的充分必要条件是：在该区间内，

(2)

(1)式右边的级数称为f(x)在点x=x0处的泰勒级数。

定理2：如果函数f(x)能在某个区间内展开成幂级数(1)，则这个幂级数是唯一的。

注：上述定理中的x可以推广到复数域中。

2 预备公式

2.1 将函数f(x)=ex展开成x的幂级数

对于任何有限数x，ξ(ξ介于0与x之间)，有

(3)

2.2 将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数

对于任何有限数x，ξ(ξ介于0与x之间)，有

(4)

2.3 将函数f(x)=cosx展开成x的幂级数

解：利用幂级数的运算性质，对展开式(4)逐项求导，得

(5)

3 欧拉公式的形成

(3)式中的x推广到复数域，考察复数项级数

可以证明，此级数在复平面上是绝对收敛的，它的和为ez，即

特别地，当z=ix(x为实数)时，可得

=cosx+isinx

即eix=cosx+isinx(-∞

(6)

(6)式中以-x代替x得

e-ix=cosx-isinx(-∞

(7)

(8)

上式(6)、(7)、(8)均叫做欧拉公式，它揭示了三角函数与复变量指数函数之间的关系。

特别的上式(6)中令x=π即得到著名的欧拉公式

eiπ+1=0

这个公式被认为是数学领域中最优美的结果之一，很多人认为它具有不亚于神的力量，因为它在一个简单的方程中，把算术基本常数(0和1)、几何基本常数(π)、分析常数(e)和复数(i)联系在了一起。

[1]吴赣昌.高等数学[M].北京：中国人民大学出版社，2006.

[2]杨晓东.应用数学基础[M].北京：兵器工业出版社，2008.