具有指定Julia方向的有限级整函数

南 华

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

具有指定Julia方向的有限级整函数

南 华

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

根据整函数的Julia方向的定义，研究了整函数的Julia方向问题.构造了以指定方向为Julia方向的有限级整函数f（z），同时还构造了具有指定Julia方向和指定Julia例外点的整函数.

Julia方向；整函数的级；Julia例外值

0 引言

整函数和亚纯函数的值分布一直受到学者们的关注，并且取得了许多重要的成果［1－3］.在值分布理论的发展过程中，著名数学家E.Picard和G.Julia获得了很多突出的成果，其中包括著名的Picard定理［4］和Julia定理［1］.Picard定理说明了在本性奇点的一个邻域内函数的A－点集的分布情况，而Julia定理断言对任意给定的有限复数A（除一点外），函数在一条射线附近有无穷多的A－点，这条射线便是Julia方向.Julia方向可能有几条或者可能有无数条.

例 考察函数f（z）＝ez，它有2个Julia方向，即正虚轴和负虚轴.

事实上，对于每一个复数z0（z0≠0），方程ez＝z0的解具有如下形式：

如果k是正整数，则连接原点和zk的线段与正虚轴的夹角的正切值等于.显然当k→∞时，这个正切值趋近于0.这意味着对于每一个复数z0（z0≠0），在任意包含正虚轴的角域内，函数ez取z0值无穷多次.对于负整数k和负虚轴也有类似结论，因而函数f（z）有2个Julia方向.对每种情形而言，Julia例外点是原点.另外，由公式函数的级可得f（z）的级是1.

近几年，对函数的Julia方向的研究有很多，如Jin Lu［5］研究了具有小级数的整函数的Julia方向，M.V.Zabolots′kyi［6］研究了缓慢增长的整函数的Julia方向，但这些都是对满足一定条件的整函数的Julia方向的存在性及其性质的研究，仅给出了Julia方向存在的必要性.本文将构造一个具有有限级的整函数，并使其具有指定的Julia方向.本文结果不仅说明了这种整函数的存在性，而且还提供了一种构造这类整函数的方法.

1 引理及其证明

引理1［7］给定一非负整数λ和单调递增趋近于无穷大的非零序列｛ξn｝.τ≠∞是序列｛ξn｝的收敛

指数，κ是使级数发散的非负整数k的最大值 若函数

其中Q（z）是v次多项式，且当κ＝0时指数项消失，则函数f（z）是具有有限级ρ＝max（υ，τ）的整函数，它的所有零点为

由此引理可知，当序列｛ξn｝以充分快的速度趋近于0时，函数f（z）表达式中的指数项可以去掉.

证明 由于数列｛an｝充分快速地趋近于∞，因而我们不妨设对所有的j＝1，2，3，… 都成立.在每个紧集Cj（j＝1，2，3，…）中，整函数f（z）都可以在某一点取得最小值.固定j，令

设M＞0.由于j→∞时有mj→∞，所以必存在自然数N，使得j≥N时有M.令对任意的满足时，必存在一整数n使得.又由于是紧的，函数在K内某点处取得最小值.另外，在K内f（z）不为0，因此由最小模原理有在Bd（K）的某点处取得最小值.

2 主要结果

定理 设θ0是一实数（mod 2π），则必存在仅以χ（θ0）为Julia方向的有限级整函数f（z）.

证明 设复数列｛an｝满足：①，且以足够快的速度趋于∞使得∞；②argaj＝θ0，j＝1，2，3，….令函数f（z）和点集Cj、Dj及mj与本文引理2中所设相同.由于j→∞时mj→∞，因此对于任意的复数z0都存在自然数N＞0，使得j≥N时对一切的z∈Cj都成立.

于是对所有的z∈Cj和j≥N有.再根据Rouche’s定理可知，函数f（z）－z0与f（z）在Cj内部有相同个数的零点，而对Cj的内部的点aj有f（aj）＝0.这说明在Dj（j≥N）内f（z）＝z0有解.由z0点的任意性知，在集合的内部f（z）可取得任意复数值无穷次.设角域Sδ＝｛z∶θ0－δ＜argz＜θ0＋δ｝，δ＞0.显然对充分大的j有Dj⊂Sδ，因此θ0是函数f（z）的Julia方向.对任意的θ≠θ0（0≤θ≤2π），设角域S′δ＝｛z∶θ－δ＜argz＜θ＋δ｝，δ＞0.由引理2可知，对所有的z∈S′δ，当z→∞ 时有f（z）→∞.因此χ（θ0）是整函数f（z）唯一的Julia方向.另外，根据性质① 可知｛an｝的收敛指数再由引理1可知，函数f（z）的级是有限的.定理证毕.

推论 给定实数θ0（mod 2π）和任意复数z0，必存在1个整函数F（z），使得χ（θ0）是函数F（z）的Julia方向，而z0是Julia例外值.

证明 令F（z）＝z0＋p（z）ef（z），其中f（z）与定理中的函数f（z）相同，而p（z）是次数为λ的非常值多项式，那么显然F（z）取得z0值只能是有限次（λ次）.

由上面的定理得知，f（z）在集合∪∞j＝1Dj中取得任意复数值无穷多次.因此函数ef（z）在集合 ∪∞j＝1Dj中

除了0之外取得其他任意复数值无穷多次.所以函数F（z）取z0值有限多次，取其他任意复数无穷多次.设Sδ＝ ｛z∶θ0－δ＜argz＜θ0＋δ｝，δ＞0.对充分大的j有Dj⊂Sδ，因此χ（θ0）是整函数F（z）的Julia方向，且z0是Julia例外值.

［1］Julia G.Lecons Sur Les Fonctions a Point Singulier Essentiel Isole［M］.Paris：Imprimerie Gauthier－Villa，1924.

［2］Tu Z H.On the Julia Directions of the Value Distribution of Holomorphic Curves onPn（C）［J］.Kodai Math J，1996，19：1－6.

［3］南华.超越整函数的正规族｛f（2nz）｝［J］.延边大学学报：自然科学版，2010，36（2）：109－113.

［4］Dieter Gaier.Lectures on Complex Approximation［M］.Boston：Birkhäuser，1987.

［5］Jin Lu.On Julia Directions of Entire Functions of Small Order［J］.KODAI Math J，2002，25：72－78.

［6］Zabolots′kyi MV.Julia Lines of Entire Functions of Slo wGrowth［J］.Ukrainian Mathematical Journal，2006，58：937－944.

［7］Markushevich A I.Theory and Functions of a Complex Variable：Vol.II［M］.Ne wYork：Chelsea Publ Co，1977：251－258.

An Entire Function of Finite Order with Preassigned Julia－line

NAN Hua
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

We studied the Julia direction of an entire function.An entire functionf（z）which has the preassigned Julia－line was construted，and the order of the entire functionf（z）was discussed.Moreover，we constructed an entire function which has the preassigned Julia－line and Julia exceptional value.

Julia－line；order of entire function；Julia exceptional value

O174.5

A

1004－4353（2011）03－0223－03

2011 -05 -17

延边大学科研项目（延大科合字［2010］第002号）

＊通信作者：南华（1972—），女，博士，副教授，研究方向为复变函数.