广义函数空间上Quadratic函数方程的Hyers-Ulam-Rassias型稳定性
2011-01-15李林松朴青松
李林松,朴青松
(延边大学理学院 数学系,吉林 延吉133002)
广义函数空间上Quadratic函数方程的Hyers-Ulam-Rassias型稳定性
李林松,朴青松
(延边大学理学院 数学系,吉林 延吉133002)
利用热方程的核,通过对广义函数正则化的方法,给出了在广义函数空间上二次函数方程的改进的Hyers-Ulam-Rassias型稳定性定理,从而推广了文献[8]的结果.
热方程的核;广义函数;quadratic函数方程;稳定性
函数方程的稳定性研究是近年来比较活跃的研究领域,并且取得了大量的研究成果[1-5].最近,J.Chung等从另一个角度在广义函数空间上讨论了函数方程的稳定性,取得一些重要的研究成果[6-10].本文根据上述文献提供的方法,在广义函数空间上讨论了二次函数方程的改进的Hyers-Ulam-Rassias型函数方程稳定性:
其中δ≥0,ψp(x)为非负连续p阶齐次函数,0<p<2.文献[3]讨论了不等式(1)的右边是常数的情况,而本文将常数用齐次函数来代替,因而进一步推广了文献[8]的结论.
1 基本概念和引理
首先给出几个记号:x= (x1,…,xn)∈Rn,α= (α1,…,αn)∈Nn0,xα=xα11…xαnn,∂α=∂α11…∂αnn,∂j=∂/∂xj,其中N0表示非负整数集.
定义[12-13]若Rn上的无穷可微函数φ,对 ∀α,β∈Nn0,满足不等式
则称φ(x)为速降函数.速降函数全体构成的线性空间记为S(Rn)或者S,由拟范数族使S成为Frechet空间.我们将基本函数空间S上的连续线性泛函全体构成的线性空间记作S′(Rn)或S′,即S′为S的对偶空间,S′中的元素称为缓增广义函数.由于f为广义函数时,不等式(1)没有意义,因此我们首先将不等式(1)在广义函数空间上重新定义.设A,B,P1,P2分别为:A(x,y)=x+y,B(x,y)=x-y,P1(x,y)=x,P2(x,y)=y,x,y∈Rn,则不等式(1)可重新描述为
其中uoA,uoB,uoP1和uoP2分别为广义函数u∈S′关于函数A,B,P1和P2的拉回(pullback),则规定为:事实上,对于uoA,uoB,uoP1,uoP2有下列运算[12]:
并称其为广义函数u的高斯变换[12-14].事实上,u的高斯变换Gu(x,t)∈C∞(Rn×R+),且当t→0+时,Gu(x,t)→u(S′).即,对于任意φ∈S(Rn),有
引理1 设fυ(x)是Rn上的函数列,满足下列条件,则fυ在S′中收敛于零.
1)fυ(x)在Rn的任意紧子集上一致收敛于零;
2)存在常数C>0,k>0使得对所有的υ∈N,有
证明 由1)对任意ε>0及X>0,存在N∈N;∀υ>N及有另外,由于φ(x)∈S,对任意h>0存在C1>0,有.因此,当υ>N,并取h和X充分大时,有
引理2 设ψp(x)是非负连续p阶齐次函数,其中0<p<2.若Ψp(x,t)= (ψp*Et)(x)=则对任意t>0,级数在S′中收敛.
证明 首先证明对每个t>0,级数在Rn的任意紧子集上一致收敛.为此我们只需证明对每个t>0,Ψp(x,t/2j)在任意紧集上关于j∈N一致有界.即,对于每个t>0及Rn的每个紧子集,存在与j∈N无关的常数C>0,使得Ψp(x,t/2j)≤C.显然,∫RnE(y,t/2j)dy=1,并且对t>0,δ>0,h≥0,当j→∞ 时,.设,则由ψp(x)连续性和齐次性有因此
其中M1与j无关.故级数在任意紧集上一致收敛.再由式(3)及引理1,引理2得证.
引理3 设δ>0,ψp(x)如引理2所定义,Ψp(x,t)= (ψp*Et)(x).若f∶Rn×(0,∞)→C是连续函数,且满足不等式
则存在唯一的函数g(x,t),使得
并且
其中K是只与p有关的常数.
证明 定义算子T:Tf(x,y,t,s)=f(x+y,t+s)+f(x-y,t+s)-2f(x,t)-2f(y,s),并设F(x,t)=f(x,t)-f(0,t),则由式(4)有
在(7)式中,令x=y,t=s,两边再除4可得
依此类推,并由三角不等式可得
容易证明,对于r>0,Ψp(rx,r2t)=rpΨp(x,t).故对上面不等式的右边做计算,得
其中K1是只与p有关的常数.
同理,在(4)式中,令x=y=0,t=s,两边再除2可得
其中K2是只与p有关的常数.现令
其中C3=Ψp(x,t/2n)+Ψp(y,s/2n)+Ψp(0,t/2n)+Ψp(0,s/2n),C4=Ψp(0,t)+Ψp(0,s).由于limt→0Ψp(x,t)=ψp(x),因此令n→ ∞ 即得到(5)式.由(8)、(9)、(10)式可得
其中K=K1+K2.再令n→∞,即得到(6)式.
现在我们考虑g(x,t)的唯一性.设G(x,t)=g(x,t)-g(0,t),由文献[8]知,对任意有理数r,有G(rx,t)=r2G(x,t).现假设h(x,t)也满足(5)和(6)式,并且令H(x,t)=h(x,t)-h(0,t),则由(6式及三角不等式可得
2 主要结果
定理1 设δ≥0,ψp(x)如引理2所定义.若u∈S′(Rn)满足不等式
证明 对不等式(11)用热方程的核的张量积Et(x)Es(y)做卷积,则由文献[7,8,10]的方法可得到
其中Gu(x,t)是u的高斯变换,Ψp(x,t)= (ψp*Et)(x).由引理3知,存在唯一的函数g(x,t),使得g(x+y,t+s)+g(x-y,t+s)-2g(x,t)-2g(y,s)=0,并且
因为高斯变换Gu(x,t)是无穷可微函数,所以由引理3的证明过程可知g(x,t)必为连续函数,因此由文献[11]有对不等式(12),令t→0+,则由引理2可知,其中证毕.
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Hyers-Ulam-Rassias Stability of Quadratic Functional Equation in Distributions
LI Lin-song,PIAO Qing-song
(DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,China)
Making use of heat kernel and the method of regularizing generalized functions we prove the Hyers-Ulam-Rassias stability of quadratic functional equation in distributions,which generalized the result of[8].
heat kernel;distributions;quadratic functional equation;stability
O178;O177.4
A
1004-4353(2011)03-0189-05
2011-05-21
教育部回国留学基金资助项目(教外司留[2008]第890号)
李林松(1968—),男,博士,副教授,研究方向为应用泛函分析.