Schnakenberg自催化模型的非常数正解

王翠芳，于 颖，白建侠

（1.天津师范大学 津沽学院，天津 300387；2.燕山大学 里仁学院，河北 秦皇岛 066004；3.天津大学 仁爱学院，天津 301636）

Schnakenberg自催化模型的非常数正解

王翠芳1，于 颖2，白建侠3

（1.天津师范大学 津沽学院，天津 300387；2.燕山大学 里仁学院，河北 秦皇岛 066004；3.天津大学 仁爱学院，天津 301636）

讨论含有两种反应物的简单的Schnakenberg自催化模型在Neumann边界条件下的相关性质.首先应用谱理论证明了该反应扩散系统的唯一正常数解是一致渐近稳定的；其次应用极大值原理证明该模型在平衡状态下存在上下界；最后应用能量方法得到此模型在齐次Neumann边界条件下不存在非常数正解时扩散系数需满足的条件.

Schnakenberg自催化模型；稳定性；非常数正解

反应扩散系统源于利用反应扩散方程（组）研究种群动力系统中相互作用的物种间的关系.随着这一领域研究的不断深入，反应扩散方程不仅被广泛用于研究具有扩散现象的种群动力系统，而且被广泛应用于物理学、医学、金融学以及化学领域.其中有一个有趣的自身催化模型，即Schnakenberg化学反应模型，目前关于该模型已有很多研究.文献［1］主要介绍了Schnakenberg模型的相关内容，并利用矩阵详细证明了Schnakenberg模型在一维空间（－1，1）静平衡态的稳定性，文献［2］利用数值分析方法研究了在连续增长区域上的反应扩散模型.

本研究主要讨论如下只包含两种反应物的Schnakenberg模型：

其中，u，v表示两种反应物的浓度，d1，d2是正扩散系数，a，b均为正常数，Ω表示Rn上具有光滑边界的有界区域，η是沿边界∂Ω向外的方向导数.初始条件可以在一致平衡态周围有一个任意小的扰动，初始值u0，v0是连续函数.该模型更多的背景和细节见文献［3］—［6］.

容易求得模型（1）平衡态即如下椭圆方程：

1 正常数解的稳定性

2 正解的先验估计

3 非常数正解的不存在性

本节主要应用能量方法得到非常数正解不存在的条件.

［1］ Iron D，Wei J C，Matthias W.Stability analysis of Toring patterns generated by the Schnakenberg model［J］.J Math Biol，2004，49：358－390.

［2］ Madzvamuse A.Time－stepping schemes for moving grid finite elements applied to reaction－diffusion systems on fixed and growing domains［J］.Journal of Computational Physics，2006，214：239－263.

［3］ Gierer A，Meinhardt H.A theory of biological pattern formation［J］.Kybernetik Press，1972，12：30－39.

［4］ Ni W M，Suzuki K，Takagi I.The dynamics of a kinetic activator－inhibitor system［J］.Journal of Differential Equations，2006，229：426－465.

［5］ Madzvamuse A，Maini P K.Velocity－induced numerical solutions of reaction－diffusion systems on continuously growing domains［J］.Journal of Computational Physics，2007，225：100－119.

［6］ Benson D L，Maini P K，Sherratt J A.Untravelling the Toring bifurcation using spatially varying diffusion coefficients［J］.J Math Biol，1998，37：381－417.

［7］ Henry D.Geometric Theory of Semi Linear Parabolic Equations：Lecture Notes in Mathematics［M］.New York：Springer，1993.

［8］ Wang M X.Stationary patterns for a prey－predator model with prey－dependent and ration－dependent functional responses and diffusion［J］.J Physd，2004，196：172－192.

［9］ Lou Y，Ni W M.Diffusion，self－diffusion and cross－diffusion［J］.Journal of Differential Equations，1996，131：79－131.

［10］ 黑力军，王翠芳.具有空间扩散和年龄结构的竞争模型的正平衡态［J］.系统科学与数学，2008，28：1236－1344.

Non－constant positive solutions of Schnakenberg model

WANGCuifang1，YUYing2，BAIJianxia3
（1.Jingu College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China；
2.Liren College，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，Hebei Province，China；
3.Ren'ai College，Tianjin University，Tianjin 301636，China）

The simple autocatalytic reaction－diffusion system known as Schnakenberg model with the homogeneous Neumann boundary condition is discussed.The uniformly asymptotic stability of the unique constant positive solution is proved by using spectral theory.Then a prior estimate（positive upper and lower bounds）of the positive steady－state is given.At last conditions of nonexistence for non－constant positive solution are given by using energy method.

Schnakenberg model；stability；non－constant positive solutions

O175.23

A

1671－1114（2011）03－0029－03

2010－04－26

“十一五”国家课题资助项目（FIB070335－B2－08）

王翠芳（1981—），女，讲师，主要从事偏微分方程方面的研究.

（责任编校 马新光）