商品售价与包装内商品数量的函数关系探讨

付丽娜，李宝毅，张 驰

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

商品售价与包装内商品数量的函数关系探讨

付丽娜，李宝毅，张 驰

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

通常商品最小包装内的数量不同时其售价不同，通过对这类商品售价的市场调查，从利润角度对售价与包装内商品数量间的关系进行定性分析，建立了商品售价与包装内相对数量间的函数关系.以某品牌碱性5号电池的实际数据为例，通过最小二乘拟合估计参数，得到售价函数，并利用包装费对售价进行校正，通过计算理论与实际相对销售单价的相对误差平方和，确定了售价函数.本研究结果有助于商家对多包装商品进行合理定价，从而使其获得较高利润.

相对数量；相对单价；售价函数；利润

通常同种商品有大小不同的包装，传统观念往往认为商品的售价与包装内商品数量的关系为正比例函数.然而实际中一般大包装（数量多）商品比小包装（数量少）商品的相对单价（售价与包装内商品数量的比）略低，即当商品数量按一定比例增加时，商品售价不是同比例增加的，相对单价也不是同比例降低的，这无疑是商家的一种价格策略［1］.有研究已经对这类商品的定价现象进行了定性分析.文献［2］从提升消费者效用感知角度解释了多包装商品的售价现象，即商家为了扩大市场占有份额和提高消费者的购买欲，采取不同数量的包装形式进行销售，从而增加总利润.文献［3］从包装成本大小对售价和利润的影响角度，解释了大包装商品比小包装商品相对单价略低的原因.文献［4］从需求价格弹性等角度进行了定性分析.本研究用数学方法定量计算这种售价与包装内商品数量间的函数关系，并以某品牌碱性5号电池为例，利用包装费校正前后的售价函数给出了一些新的包装形式（按数量多少）的理论售价和利润值，为商家制定多种包装形式商品的售价提供参考.

1 理论模型的建立

1.1 符号说明及模型条件

设包装内数量最少时的商品为相对单包装商品，记此时包装内商品的相对数量为单位1，其他商品包装内的数量以此相对单包装商品的实际数量的倍数x为相对数量.设F（x）是相对数量为x时商品的售价，p为相对单包装商品的实际售价，C为相对单包装商品的相对销售成本系数，则Cp为相对单包装商品的销售成本，R（x）为包装内商品相对数量为x时的商品利润函数.F（x）应满足的条件为：

2）商品利润函数R（x）＝F（x）－Cxp关于x严格单调上升.

1.2 模型的理论推导

根据模型满足的条件推测商品售价与相对数量x的函数关系为

2 参数估计与应用

2.1 参数估计与误差分析

对某大型超市某品牌碱性5号电池的售价进行调查，得到具体数据，见表1.

表1 碱性5号电池包装内的实际数量与实际售价（元）Table 1 Real quantity and selling price（yuan）of alkaline aa batteries in packing

其中i＝1，2，3，4，5，为方便，以2粒电池为单位1，此时单包装售价p为4.9元.其他包装内的相对数量为xi＝x′i／2，相对销售 单价为yi＝y′i／4.9xi.由表1可得表2.

表2 碱性5号电池包装内的相对数量与相对销售单价Table 2 Relative quantity and selling unit price of alkaline aa batteries in packing

由式（1）得相对销售单价为y＝C＋（A＋Bx）－α.利用表2数据对待定参数进行估计.

1）第一次搜索.将相对销售单价变形为

显然，成本C必小于最小的相对销售单价0.812 93且大于0，而α∈（0，1］，即对在范围内给定的（C，α），就可得到一个确定的u.在Matlab软件［5］中利用最小二乘法，进行u关于x的线性拟合，以xi，ui的相似度的最大值为目标函数，在精度10－4下搜索，确定参数如下：

2）第二次搜索.对第一次搜索得到的参数A＊，B＊，C＊，α＊，在其±30%邻域内重新搜索，计算实际与理论相对销售单价的相对误差平方和，以其最小值为目标函数，即

易得相对单包装商品的销售成本Cp≈3.15元.于是相对销售单价函数为

图1 相对销售单价与相对数量散点及函数关系Figure 1 Scattergram and functional image of relative selling unit price and relative quantity

下面考虑包装费对售价的影响，在式（1）基础上考虑包装费校正后的售价函数关系：

其中，A，B，C，α为待定参数，p为相对单包装商品的实际售价，Dx为包装内商品相对数量为x时的包装费.由式（7）得含包装费的相对销售单价为

实际调查5号电池知2粒、4粒、6粒装的电池的外包装硬纸壳大小相同（见图2（a）），实际长a约为11.7cm，宽b约为8.1cm，可得面积为S＝94.77cm2.

图2 碱性5号电池两种包装形式尺寸示意图Figure 2 Graphic representation of sizes of two packing manners of alkaline aa batteries

图2（a）中竖放区域可放2粒或4粒，而在竖放4粒电池上面再加固2粒电池后得6粒装的电池，它们仅是固定的外塑料壳有微小差别，则有D1≈D2≈D3.8粒、12粒装电池外包装的长a′约为17.9cm，宽b′约为8.1cm，面积为S′＝144.99cm2.具体尺寸见图2（b），有S′≈1.53S.8粒包装的电池是在横放区域Ⅰ与Ⅱ分别横放4粒，再在4粒上面分别加固2粒就得12粒包装的电池.固定8粒装电池的外塑料壳约为4粒装电池的2倍大小，则综合面积关系近似有D4≈D6≈1.6D1.

图3 包装费校正后的相对销售单价与相对数量散点及函数关系Figure 3 Scattergram and functional image of relative selling unit price and relative quantity regulated with packing charges

2.2 模型应用

下面根据包装费校正前后的售价函数关系，给出一些新的包装形式（数量不同）的理论售价F（x）及（x）.

根据实际包装的尺寸（图2（b）），横放区域长5.7cm，宽5.1cm，实际测量两区域之间距离为0.9cm，在图2（b）的基础上宽度不变，增加一个横放区域，见图4（a），长度增加5.7＋0.9＝6.6cm，包装总长度为17.9＋6.6＝24.5cm.此时在横放区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ上分别横放4粒电池，在每4粒电池上可再加固2粒包装成14粒、16粒、18粒装的电池.此时面积S1＝198.45cm2≈2.1S，考虑包装固定的外塑料壳，则有包装费

在图2（b）的基础上长度不变，增加两个横放区域，见图4（b），宽增加0.9＋5.1＝6cm，宽为8.1＋6＝14.1cm，在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ区域中可分别固定5粒、6粒电池做成20粒、24粒的电池，此时面积S2≈252.4cm2≈2.7S，考虑包装外塑料壳，则有包装费D10≈D12≈2.8D1≈0.25.综合图4（a）和（b），长度不变，为24.5cm，宽为14.1cm，此时有6个区域固定电池，见图4（c），可在Ⅰ，Ⅱ固定6粒，其余的固定4粒，也可在Ⅰ，Ⅱ固定6粒，Ⅲ，Ⅳ固定5粒，Ⅴ，Ⅵ固定4粒，等，故可构成28粒、30粒、32粒、34粒、36粒装的电池.S3＝345.45cm2≈3.65S，考虑外塑料壳后有包装费

类似可以设计更多新包装形式的电池.

图4 碱性5号电池的3种新包装形式尺寸示意图Figure 4 Graphic representation of sizes of three new packing manners of alkaline aa batteries

由式（6）和（10）及包装费计算一些新包装形式电池的具体售价见表3.

表3 碱性5号电池一些新包装形式的理论售价（元）Table 3 Theoretic selling price（yuan）of alkaline aa batteries of some new packing manners

由表3可看出，理论售价随包装内数量增多而逐渐增大，但是增加的幅度却逐渐降低.商家在制定具体售价时可遵循自身的价格策略并根据包装的具体大小微调售价，从而有利于销售.消费者可根据需求购买不同数量包装的电池，从而得到实惠.

下面根据商品利润函数R（x）＝F（x）－Cxp＝（A＋Bx）－αxp计算在上述售价关系下的利润.即

根据式（11）—（12）计算包装费校正前后的部分电池理论利润值R（x）与~R（x），见表4.

表4 碱性5号电池不同数量包装时销售的理论利润（元）Table 4 Theoretic profits（yuan）of alkaline aa batteries of different numbers in packing

由表4可知，利润随包装内数量的增多而逐渐增大.

3 结语

商场中其他多包装商品也有与碱性5号电池的上述售价函数相类似的售价与数量关系，因此以上研究模型得到的具体售价函数可应用到其他商品的售价制定中，为消费者提供更多包装形式的商品选择，从而有利于提高商场的利润和市场地位.另外，还考虑了形如F（x）＝［C＋（A＋Bxα）－1］px的售价函数，利用上述碱性5号电池的数据及相同的参数估计方法，得到相对单包装商品的相对销售成本系数C≈0.336 86，则相对单包装商品的销售成本Cp≈1.65元，而实际售价为4.9元，此时Cp过小，与实际销售成本不符，因此这种售价函数不合理.

［1］ 刘东山.超市竞争中价格策略研究［J］.黄冈职业技术学院学报，2009，11（4）：96－97.

［2］ 王欣，胡正明.价格促销中的消费者效用感知研究［J］.山东社会科学，2010（3）：141－143.

［3］ 姜兴武.商品单价的数学模型［J］.吉林商业高等专科学校学报，2000（1）：49－50.

［4］ 马卫东，游玲杰.需求价格弹性、销售收益和企业利润的关系研究：基于成本策略［J］.经济研究导刊，2010（4）：55－56.

［5］ 王家文，王皓.MATLAB7.0编程基础［M］.北京：机械工业出版社，2005.

［6］ 姜启源，谢金星.数学模型［M］.北京：高等教育出版社，2005.

Research on function relationship between selling price and number of commodity in packing

FULina，LIBaoyi，ZHANGChi
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The selling prices of commodity are usually different according to the quantity of commodity in the smallest package.By the investigation of the selling price of this kind of commodity and the qualitative analysis of the relationship between the selling price and the quantity of commodity in the view of profit，a concrete function between the selling price and the relative quantity in the package is defined.Take a certain brand of alkaline aa batteries'real statistics for example，the parameters in the function by least squares method are estimated and the function of the selling price is obtained.Then the selling price is regulated using the batteries'packing charge，and the function of the selling price is gained by calculating the sum of squares of the relative error of the theoretical and practical relative selling unit price.The results can help the market make reasonable pricing for the commodity and make much higher profits.

relative quantity；relative unit price；function of selling price；profit

F224

A

1671－1114（2011）03－0017－05

2010－10－18

付丽娜（1986—），女，硕士研究生.

李宝毅（1963—），男，教授，主要从事常微分方程定性理论及其应用方面的研究.

（责任编校 马新光）