简议整数问题中的常用方法

● (嵊州市第二中学 浙江嵊州 312400)

简议整数问题中的常用方法

●张秋君(嵊州市第二中学 浙江嵊州 312400)

数论是专门研究整数问题的.由于整数具有离散性、有序性、无穷性等特点，因此以下方法就特别适合于解决数论问题.

1 不等式分析法

例1求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.

解由方程有整数解，得

Δ=(y+1)2-4(y2-y)≥0，

解得

满足这个不等式的y值只有0，1，2.

当y=0时，由原方程可得

x=0或x=1；

当y=1时，由原方程可得

x=2或x=0；

当y=2时，由原方程可得

x=1或x=2.

故原方程有整数解

2 无穷递降法

例2确定并证明方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解.

2k>a1,2k>b1,2k>c1，

3 反证法

例3证明：方程x4+y4=z2没有正整数解.

证明假设原方程有一组正整数解(x0,y0,z0)，并且z0是所有正整数解z中最小的.因此

其中(a,b)=1,a,b为一奇一偶.假设a为偶数，b为奇数，那么

x0=p2-q2,b=2pq,a=p2+q2，

这里(p,q)=1,p>q>0,p,q为一奇一偶.从而

因为p,q,p2+q2两两互质，所以它们必须都是某整数的平方，即

p=r2,q=s2,p2+q2=t2，

从而

r4+s4=t2，

即(r,s,t)也是原方程的解，且有

t

这与z的最小性矛盾，故原方程无正整数解.

4 数学归纳法

例4我们知道23+1=9有1个质因子，且32|23+1；232+1=513=33×19有2个质因子，且33|232+1，…,如此下去，可以猜想：k∈N*,23k+1至少有k个质因子，且3k+1|23k+1.试证明之.

(2006年山东省第2届夏令营试题)

证明令ak=23k+1，则ak=3k+1bk，即要证bk是整数且有k-1个质因子.下用数学归纳法证明bk是整数.

(1)当k=1时，结论显然成立.

(2)假设当n=k时，结论成立.则当n=k+1时，因为

且

3k+1|ak，

所以

3k+2|ak+1，

由(1),(2)可知,bk+1是整数.

下证bk+1至少有k个质因子.

bk+1=bkck.

由于(ck,3)=1，因此

(ck,bk)=1，

从而ck必有异于bk质因子的质因子，所以bk+1至少有k个质因子.

5 剩余类法(或称特殊模法)

例5证明：存在无穷多个正整数，它们不能表示成少于10个奇数的平方和.

所以只有s=2,于是

又因为

所以

3|x1且3|x2，

因而9|n.但n=72k+66≡3(mod9)，产生矛盾.从而n不能表示成少于10个奇数的平方和，且这样的n有无穷多个.

6 分类讨论法与奇偶分析法

例6证明:方程2x2-5y2=7无整数解.

证明由2x2=5y2+7，可得y为奇数.

(1)若x为偶数，则

2x2≡0(mod8)，

因此

y2=(2n+1)2=4n(n+1)+1,

得

y2≡1(mod8)，5y2+7≡4(mod8).

因为方程两边对同一整数8的余数不等，所以x不能为偶数.

(2)若x为奇数，则

2x2≡2(mod4)，

但

5y2+7≡0(mod4)，

因此x不能为奇数.

综上所述,原方程无整数解.

m-1=1或m-1=2，

故

(m,n)=(2,1)或(m,n)=(3,1).

(2)若m=1,则

因此

n-1=1或n-1=2，

故

(m,n)=(1,2)或(m,n)=(1,3).

也是整数，于是m,n是对称的.不妨设m≥n.

①若m=n，则

为整数，于是n=2,m=2.

②若m>n，因为

n3+1≡1(modn),mn-1≡-1(modn)，

所以

因此存在k∈N，使得

又

即

得k=1，于是

从而

解得

n-1=1或n-1=2，

因而

(m,n)=(5,3)或(m,n)=(5,2).

同理可得,当m

(m,n)=(2,5)或(m,n)=(3,5).

综上所述,(m,n)可取(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3).