多元函数极值求法探讨

陈惠汝

（黄冈师范学院数学与信息科学学院，湖北 黄冈 438000）

多元函数极值求法探讨

陈惠汝

（黄冈师范学院数学与信息科学学院，湖北 黄冈 438000）

利用方向导数、梯度及内积、二次型三种方法分别判别函数极值，通过二元函数求极值的方法介绍多元函数极值的求法.

多元函数；极值；方向导数；梯度；内积；二次型；正定矩阵

函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们解题中的一个难题。函数极值在应用中也普遍存在。在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。本文给出了几种求多元函数极值的方法。

1 利用方向导数判断多元函数的极值

引理 1[1]设二元函数 f（x，y）在点 p0（x0，y0）的某邻域 U（p0）内连续，在 U0（p0）内可微，∀p（x，y）∈U0（p0），用 l表示方向 p→p0.

（ⅰ）若 fl′（p）＞0，则 f（p）在点 p0取得极大值；

（ⅱ）若 fl′（p）＜0，则 f（p）在点 p0取得极小值。

与二元函数相类似，多元函数也可以利用方向导数来判断极大值和极小值.现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明。

定理 1 设多元函数 f（x1，…，xn）在点 p0（x01，…，x0n）的某邻域 U（p0）内连续，在 U0（p0）内可微，∀p（x1，…，xn）∈U0（p0），用 l表示方向 p→p0.

（ⅰ）若 fl′（p）＞0，则 f（p）在点 p0取得极大值；

（ⅱ）若 fl′（p）＜0，则 f（p）在点 p0取得极小值。

推论 1 设多元函数 f（x1，…，xn）在 p0（x01，…，x0n）的某邻域 U0（p0）内连续，在 U0（p0）内可微，对∀p（x1，…，xn）∈U0（p0）

（ⅰ）若 fx1（x1-x01）+…+fxn（xn-x0n）＜0，则 f（x1，…，xn）在 p0取极大值；

（ⅱ）若 fx1（x1-x01）+…+fxn（xn-x0n）＞0，则 f（x1，…，xn）在 p0取极小值。

例 1 讨论三元函数 u=f（x，y，z） =x2+y2+z2+2x+4y-6z的极值。

解 先求三个一阶偏导数，令它们为0。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。

ux=2x+2=0， uy=2y+4=0，uz=2z-6=0求得稳定点为（－1，－2，3）.

∵（x+1）（2x+2）+（y+2）（2y+4）+（z-3）（2z-6）=2（x+1）2+2（y+2）2+2（z-3）2＞0

由推论知 u=f（x，y，z）=x2+y2+z2+2x+4y-6z在点（－1，－2，3）处取得极小值。

2 利用梯度及内积计算多元函数的极值

引理 2[2]设 f（x）在点 x0连续，在 U0（x0，δ）内可微，

（ⅰ）若 x∈U0（x0，δ），有（x-x0）f′（x）＜0，则 f（x）在 x0点取得极大值；

（ⅱ）若 x∈U0（x0，δ），有（x-x0）f′（x）＞0，则 f（x）在 x0点取得极小值。

对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值。由上述引理可推广到多元函数的情况，文[2-4]都进行了讨论有如下定理。

定理 2 设多元函数 f（x1，…，xn）在 p0（x01，…，x0n）点连续，在 U0（p0）内可微，

（ⅰ）若∀p（x1，…，xn）∈U0（p0），有（x1－x01， x2－ x02，…，xn-x0n）·gradf＜0，则 f（x1，…，xn）在 p0点取得极大值；

（ⅱ）若∀p（x1，…，xn）∈U0（p0），有（x1－x01， x2－ x02，…，xn-x0n）·gradf＞0，则 f（x1，…，xn）在 p0点取得极小值。

由于极值只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在的点处取得，因此，定理2可对这样的两类点使用。

例 2 求 f（x，y，z）=x2+y2+z2－3xy＋2x 的极值

3 利用二次型求多元函数的极值

定义 3[5]设函数 y=f（x1，…，xn）在 x0=（x01，…，x0n）点有连续的二阶偏导数，称矩阵

为函数 y=f（x1，…，xn）在 x0点的海色矩阵。

引理 3 设函数 y=f（x1，x2，x3）在点 p0的某个邻域内有连续的一阶及二阶偏导数，并且 gradf（p0）＝0，则

（ⅰ）若矩阵 Hf（p0）是正定矩阵，则 y=f（x1，x2，x3）在 p0处取得极小值；

（ⅱ）若矩阵 Hf（p0）是负定矩阵，则 y=f（x1，x2，x3）在 p0处取得极大值；

（ⅲ）若矩阵 Hf（p0）是不定矩阵，则 y=f（x1，x2，x3）在 p0处不取极值。

定理 3[4,5]设 n 元函数 y=f（x1，…，xn）在 x0=（x01，…，x0n）的某个邻域内有连续的二阶偏导数，且 gradf（x0）＝0，则

（ⅰ）若 Hf（x0）是正定矩阵时 ，则 x0为 f（x）的极小值点；

（ⅱ）若 Hf（x0）是负定矩阵时，则 x0为 f（x）的极大值点；

（ⅲ）若矩阵 Hf（p0）是不定矩阵时，则 f（x）在 x0处不取极值。

例 3 求函数 f（x，y） =x3+y3+3x2y-3y2-9y 的极值

解 f在R2二阶连续且可微，先求稳定点。

在点（0，3）， Hf为正定矩阵，所以 f在（0，3）处有极小值 f（0，3）=-27.

在点（0，－1），Hf为负定矩阵，所以 f在（0，－1）处有极大值 f（0，－1）=5.

若函数 f（x1，…，xn）在有界闭域 D 连续且可微，则 f（x1，…，xn）在 D 上必达到最大值或最小值。设f（p0）=M（或 m），若 p0是 D 的内点，则 p0是 f（x1，…，xn）的极值点，但可能发生 p0∈∂D.因此，为了找出f（x1，…，xn） 在 D 的最大最小值，必须找出 f（x1，…，xn） 在 D 的极值点，再与边界 ∂D 的函数值比较，才能找出函数在D上的最大最小值；而实际问题的最大最小值，可根据问题的实际意义来判断。

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THE DISCRIMINANCES AND APPLICATIONS OF THE INFINITESIMAL AND INFINITELY SEQUENCE OF NUMBER

CHEN Hui-ru
（College of mathematics and information science,Huanggang Normal University，Huanggang Hubei 438000）

This text makes use of a direction to lead a number,steps degree and inside accumulate,two types these three kinds of method distinguishes a function pole value respectively,the method which begs a pole a value through a 2 dollars function introduces diverse function to be worth vevy much of beg a method.

Several； Extreme value； Directional derivative； Gradien； Inner product； Qvariables uadratic form； Positive definite matrix.

O172.1

A

1672－2868（2010）06－0116－03

2010－09-23

陈惠汝（1978-），女，湖北英山人。黄冈师范学院数学与信息科学学院讲师，研究方向：基础数学教学与研究。

责任编辑：陈 凤