λ-矩阵标准形的求法

戴泽俭 陈 侃

（巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

λ-矩阵标准形的求法

戴泽俭 陈 侃

（巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

本文探讨λ矩阵的标准形的几种常用的求法，并通过例子加以说明。

λ-矩阵；标准形；不变因子

矩阵的标准形是λ矩阵理论中一项重要而基础的内容，求λ矩阵的标准形具有很强的灵活性和技巧性。本文探讨几种常用的求λ矩阵的标准形的方法.

1 利用初等变换求λ－矩阵的标准形，这是最基本最常用的方法

最后一个矩阵即为所求的标准形。

2 利用行列式因子求出不变因子，从而得出λ－矩阵的标准形

3 对于容易求出初等因子的λ-矩阵，可利用初等因子和不变因子的关系求出标准形

4 对于元素未给出的抽象λ-矩阵和一些较复杂的λ-矩阵，常常要利用所给的条件灵活运用前面几种方法

例4 设A（λ）是一个五阶λ-矩阵，秩为4，初等因子为

解 由A（λ）的秩为4，故可由A（λ）的初等因子得出A（λ）的不变因子为：

解 从A（λ）的最后一行开始，每行乘λ后往上一行加，得

其中 f（λ）= λn+a1λn-1+ …an-1λ +an-1，* 表示一些未写出的元素。 从中可得出 A（λ）的 n 阶行列式因子Dn（λ）=f（λ） .又 A（λ）的左下角的 n-1 阶子式等于（－1）n-1，故 D1（λ）＝D2（λ）＝…＝Dn-1（λ）=1， 于是根据行列式因子和不变因子的关系得：

λ－矩阵标准形的求法灵活多样，实际中我们往往视具体情况采取比较简洁的方法，以上例子的其他解法，这里就不再一一赘述了。

[1]北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]同济大学应用数学系.线性代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]姚慕生.高等代数[M].上海：复旦大学出版社，2002.

[4]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.

[5]张禾瑞等.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.

THE SOLVING METHODS ABOUT STANDARD FROM OF λ－MATRIX

DAI Ze-jian CHEN Kan
（Department of Mathematics,Chaohu College,Chaohu Anhui 238000）

The solving methods are given for the standard form of λ－matrix by some examples.

λ－matrix；standard form；invariant factor

O151.21

A

1672－2868（2010）06－0113－03

2010－09-16

巢湖学院科研启动基金资助项目

戴泽俭（1981－），男，安徽桐城人。硕士，讲师，研究方向：代数理论与应用。

责任编辑：陈 凤