一类非幂零极小惯量任意符号模式矩阵

梅银珍,高玉斌

一类非幂零极小惯量任意符号模式矩阵

梅银珍,高玉斌

(中北大学数学系,山西太原030051)

如果一个惯量任意符号模式的任意一个或多个非零元被零取代后所得到的符号模式不是惯量任意的,则这个惯量任意符号模式称为极小惯量任意符号模式(MIAP).文献[1]中In-Jac Kim等给出一类不可约的惯量任意符号模式ψ2k+1(k≥2),并证明了当k=2,3时是(MIAP).文章将证明k≥4时ψ2k+1也是(MIAP).

符号模式;惯量任意;极小惯量任意

0 引言

符号模式矩阵是指元素取自集合{+,-,0}或{1,-1,0}的矩阵,简称为符号模式.用Qn表示全体n阶符号模式所组成的集合.对任意S∈Qn,所有与S有相同符号模式的实矩阵组成的集合

{A∈Mn(R)|sign(aij)=sij,∀i,j∈{1,2,…,n}},称为由S所决定的定性矩阵类,记为Q(S).如果H=S或H是由S中的一个或多个非零元被零替换后所得到的,那么称H为n阶模式S的子模式,也称S为H的母模式.当H≠S时,称H为S的真子模式,S为H的真母模式.如果对于任意一个满足n1+n2+n3=n的非负三元整数组(n1,n2,n3),都存在一个实矩阵M∈Q(S),使得i(M)=(n1,n2,n3),则称符号模式S是惯量任意的[1,4-7],记为IAP.如果S的任意一个真子模式均不是IAP.则称符号模式S是极小惯量任意符号模式[2,3],记为MIAP.

设2k+1阶符号模式

文献[1]中,作者证明了S2k+1(k≥2)是惯量任意符号模式,且S5,S7是极小惯量任意符号模式,并猜想S2k+1(k≥4)也是极小惯量任意符号模式矩阵.本文论证了k≥4时该猜想是正确的.

1 一些引理

设k≥2,

其中aj,bj,cj,dj是正的或零.记A2k+1的特征多项式为

经过计算得到

显然有如下结论:

(1)若a1和b2有一为零,则A2k+1的迹或负或正,那么A2k+1取不到惯量(0,0,2k+1);

(2)若a2k+1,ci(i=3,…,2k)至少有一为零,则r2k+1=0,那么A2k+1取不到惯量(0,2k+1,0);

(3)若a2,b1至少有一为零,则r2≤0,由韦达定理知A2k+1取不到惯量(2k+1,0,0);

(4)若d1为零,则r2k+1≤0,A2k+1不能取到惯量(0,2k+1,0);

(5)若c2为零,则r2k+1>0,A2k+1不能取到惯量(0,0,2k+1);

(6)若a5和d3有一为零,则r3≤0,A2k+1不能取到惯量(0,2k+1,0);

(7)若b4为零,则r3>0,A2k+1不能取到惯量(2k+1,0,0).

综合上述讨论,有以下引理.

引理1 设k≥2,U2k+1是S2k+1的一个子模式,且U2k+1是惯量任意符号模式,A2k+1∈Q(U2k+1),则ci≠0 (i=2,3,…,2k),di≠0(i=1,3),bi≠0(i=1,2,4),ai≠0(i=1,2,5,2k+1).

引理2 设B是n阶实矩阵,pB(x)=xn+r1xn-1+r2xn-2+…+rn-1x+rn是B的特征多项式.若i(B) =(0,n,0),则rj>0,j=1,…,n.

引理3[1]符号模式ψ5和ψ7是MIAP.

引理4[1]当k≥2时,若A2k+1恰有一个零特征值,则矩阵A2k+1的元素a2,b2,c2满足以下条件之一:

(i)a2=a1+a2k+1,b2=b1,c2=d1;

(ii)a2=a1-a2k+1,b2=b1,c2=d1;

(iii)a2=a1,b2=b1,c2=d1.

证明 若A2k+1恰有一个零特征值,则齐次线性方程组XA2k+1=O有非零解τ,即τA2k+1=O.令τ=(x1, x2,…,x2k+1)且令

那么D=diag(e1,…,e2k+1)是对角元为正的对角矩阵,且对于每个j=1,…,2k+1时,有(τD)j∈{1,-1,0}.由τA2k+1=O,得到τDD-1A2k+1D=O.令v=τD=v=(v1,…,v2k+1)且A=D-1A2k+1D.那么A∈Q(S2k+1),vA =0(vj∈{1,-1,0}).因为对于每个j=3,5,…,2k-1时,-cj是A2k+1的第j+1列的唯一非零元,得到当j =3,5,…,2k-1时,vj=0成立.对于每个j=4,6,…,2k,考虑(vA)j+1,对于每个j=4,6,…,2k时,有vj= 0.因为v1=0且v2=0,因此v2k+1=0,得到了v1∈{1,-1}.假设v1=1.那么由(vA)3=0就可以得到v2=1.因此,不失一般性,左乘A的非零向量v是下面的向量(i),(ii)和(iii)中的一个:

(i)(1,1,0,…,0,1),(ii)(1,1,0,…,0,-1);(iii)(1,1,0,…,0).

如果向量v是(i),(ii)或(iii),那么矩阵A2k+1的元素a2,b2,c2分别如下:

(i)a2=a1+a2k+1,b2=b1,c2=d1;

(ii)a2=a1-a2k+1,b2=b1,c2=d1;

(iii)a2=a1,b2=b1,c2=d1.

证毕.

2 主要结论

由于相似矩阵的特征值相同,由引理1可不妨设A2k+1有以下形式

其中aj,bj,dj是正的或零.记A1是矩阵A满足引理4(i)的矩阵.

引理5 设i(A1)=(0,2k,1),则a2j+1≠0,b2j≠0(j=3,…,k-1),d2j+1≠0(j=2,…,k-2).

证明 设i(A1)=(0,2k,1),则r2k+1=0,再由引理2知rj>0,j=1,…,2k.经过计算得到

其中di,dij∈{d3,d5,d7,…,d2k-3},表示所有互不相同且满足s≤i,j≤m的h个dij乘积之和.

e1=a2k+1d2k-1-b2k,e2=a2k-1d2k-3-b2k-2,…,ei=a2k-2i+3d2k-2i+1-b2k-2i+2,…,ek-4=a11d9-b10,ek-3= a9d7-b8,ek-2=a7d5-b6;

f1=a2k+1b2k-a2k+1,f2=a2k+1b2k-2-a2k-1,…,fi=a2k+1b2k-2i+2-a2k-2i+3,…,fk-4=a2k+1b10-a11,fk-3=a2k+1b8-a9,fk-2=a2k+1b6-a7,fk-1=a2k+1b4-a5.

由rj>0,j=1,…,2k易知ej>0,j=1,…,k-2;fj>0,j=1,…,k-1.

下证a2j+1(j=3,…,k-1),b2j(j=3,…,k-1),d2j+1(j=2,…,k-2)都不可能为0.否则:

若a2j+1=0(j=3,…,k-1),则ei=a2k-2i+3d2k-2i+1=-b2k-2i+2<0,矛盾;

若d2j+1=0(j=2,…,k-2),则ei=a2k-2i+3d2k-2i+1=-b2k-2i+2<0,矛盾;

若b2j=0(j=3,…,k-1),则fi=a2k+1b2k-2i+2-a2k-2i+3=-a2k-2i+3<0,矛盾.

证毕.

定理 S2k+1(k≥4)是极小惯量任意符号模式(MIAP).

证明 设U2k+1是S2k+1的一个子模式,且U2k+1是惯量任意的.又设A∈Q(S2k+1),且i(A)=(0,2k,1),即A恰有一个零特征值,由引理4知A的元素必是以下三种情形之一:

(i)a2=a1+a11,b2=1,d1=1; (ii)a2=a1-a11,b2=1,d1=1; (iii)a2=a1,b2=1,d1=1.

而此时由引理2得rj>0,j=1,…,2k.对于(ii)的情形,有r2=-a2k<0,对于(iii)的情形,有r2=0.矛盾,故A一定是如情形(i)的矩阵A1.由引理5知,a2j+1≠0(j=3,…,k-1),b2j≠0(j=3,…,k-1),d2j+1≠0 (j=2,…,k-2).

综上,我们可知U2k+1即S2k+1是极小惯量任意符号模式.证毕.

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137.

A Class of Minimal Inertially Arbitrary Sign Patterns with No Nilpotent

MEI Yin-zhen,GAO Yu-bin
(Department of Mathematics,North China University,Taiyuan030051,China)

A sign patternSis minimal inertially arbitrary if it is not inertially arbitrary when any one or more nonzero entries ofSis replaced by zero.In[1]In-Jac Kim,et al proved aD.D.Olesky famliy of irreducible inertially arbitrary sign patternsψ2k+1(k≥2),and showed thatψ5andψ7are minimal inertially arbitrary.In this paper,it is proved thatψ2k+1(k≥4)are also minimally inertially arbitrary.

sign pattern;inertia arbitrary;minimal inertially arbitrary

O157.5

A

0253-2395(2010)03-0339-04

2009-11-30;

2010-03-10

国家自然科学基金(10571163);山西省自然科学基金(2007011017)

梅银珍(1977-),女,山西原平人,讲师,在读博士,主要从事组合数学研究.