一类极小的谱任意符号模式矩阵

荆亨通,邵燕灵

一类极小的谱任意符号模式矩阵

荆亨通,邵燕灵

(中北大学数学系,山西太原030051)

设A是一个n阶符号模式,对任意首系数为1的n次实系数多项式f(x),若存在实矩阵B∈Q(A),使得B的特征多项式为f(x),则符号模式A为谱任意符号模式.本文运用幂零-雅克比方法给出了一类极小谱任意符号模式矩阵.

符号模式;谱任意;幂零

0 引言

一个符号模式矩阵(简称符号模式)是元素取自集合{+,-,0}的矩阵.设A=(aij)是n阶符号模式,则A的定性类定义为

Q(A)={B=(bij)|sign(bij)=aij,i,j=1,2,…,n}.对于符号模式S=(sij),若当aij≠0时,有sij=aij,则S为A的一个母模式,即A为S的一个子模式.A也为其自身的一个母模式.

若存在n阶实矩阵B∈Q(A),使它的所有特征值为零,则称B为符号模式A的一个幂零实现.若A有幂零实现,我们也可称A是蕴含幂零的.设A是一个n阶符号模式,对任意首系数为1的n次实系数多项式f(x),若存在实矩阵B∈Q(A),使得B的特征多项式为f(x),则符号模式A为谱任意符号模式(SA P).任何谱任意符号模式一定是蕴含幂零的.如果A是谱任意符号模式,而替换A中任何非零元后的符号模式矩阵不是谱任意的,则A为极小谱任意符号模式(MSAP).当任意的B∈Q(A)为非奇异时,A为符号非奇异的.

有关谱任意符号模式的研究开始于文献[1],且给出了证明谱任意符号模式的方法.随后文献[2-5]给出并证明了一些符号模式是谱任意的.本文给出一类n阶符号模式Dn并证明它是谱任意的.

引理1.1[1]A是一个n阶符号模式,假设存在幂零实现B∈Q(A),且B中到少有n个非零元bi1j1,…, binjn.令X为用变量(x1,…,xn)代替B中bi1j1,…,binjn后得到的矩阵,且令

若X的特征多项式的系数对于变量(x1,…,xn)的雅克比行列式在(x1,x2,…,xn) =(bi1j1,bi2j2,…,binjn)处不为零,那么A的任何母模式均为谱任意符号模式.

1 符号模式Dn

本文讨论以下n阶符号模式其中第n-2行和第n-1行的“-”元素分别位于第r1列和第r2列,且n≥6.

取

其中ai>0,i=1,2,…,n.令a0=1.

令An的特征多项式为

从最后一行展开|x I-An|,并由引理1.1可推出定理1.1 若3≤r2

证明 容易算出An的特征多项式各项的系数为

令fi=0,得到

容易算出,在幂零点处J=1-r2≠0.由引理1.1可知该定理成立,即证.

定理1.2 若2≤r1

证明 容易算出An的特征多项式各项的系数为

令其系数fi=0,可得到故Dn有幂零实现.

同样可得出雅克比行列式在幂零点处等于1-r2.即证.

定理1.3 若r1=r2=r,且2≤r≤.那Dm的任何母模式都是谱任意的.

证明 容易算出An的特征多项式各项的系数为

通过求解fi=0,(i=1,2,…,n)可知当时,An是Dn的幂零实现.

此时可得到在幂零点处J=1-r≠0,即证,

定理1.4 若r1=1,且3≤r2=r≤,那么Dn的任何母模式都是谱任意的.

证明 容易算出An的特征多项式各项的系数为

令其系数fi=0,有,故Dn有幂零实现.

雅克比行列式J在幂零点处等于2-r≠0.即证.

引理1.2[3]n阶不可约谱任意符号模式至少有2n-1个非零元.

定理1.5 符号模式Dn在定理1.1-1.4的条件下为极小谱任意符号模式.

证明 假设S=[sij]为Dn的一个子模式,且S为谱任意符号模式,则

(1)s1,1≠0,且sn-1,n-1≠0,否则S的迹为非负或非正.

(2)si,i+1≠0(i=1,2,…,n-1),否则S为符号非奇异或符号奇异的.

(3)sn-2,r1≠0,sn-1,r2≠0.sn,2≠0,且sn,3≠0,因为存在实矩阵A∈Q(S)使得A是幂零的,且得到an-3= an-2=an-1=an.若an-3=an-2=an-1=an=0,那么S中的非零元个数少于2n-1,即S不是谱任意的.

(4)si,1≠0(i=2,3,…,n-r-1,r=max{r1,r2}),否则xn-i的系数不是任意的.

(5)si,1≠0(i=n-r,n-r+1,…,n-4),否则与(3)矛盾.

因此,S=Dn,故Dn为极小谱任意符号模式.证毕.

证明 容易得出An的特征多项式各项的系数为

fi=ai-ai-1,i=1,2,…,n-r1-2,

fi=an-3ai-n+r1+1-an-3ai-n+r1+ai-ai-1,i=n-r1-1,n-r1,…,n-4.

fn-3=an-3ar1-2-an-3ar1-3-an-4,

fn-2=an-3ar1-1-an-3ar1-2-an,

fn-1=-an-3ar1-1+an-2+an-1-ana1,

fn=an-1a1-ana2.

令fi=0,i=1,2,…,n,由fi=0,i=1,2,…,n-r1-2,得到a1=a2=…=an-r1-2=1.由fn=fn-1=fn-2=fn-3=0,有an=an-1=an-2=an-3=an-4=0.由fn-4=fn-5=…=fn-r1-1,能得到an-5=an-6=…= an-r1-1=0.与ai>0矛盾,故Dn不蕴含幂零.

证明 容易算出An的特征多项式各项的系数为

fi=ai-ai-1,i=1,2,…,n-r1-2,

fi=an-3ai-n+r1+1-an-3ai-n+r1+ai-ai-1,i=n-r1-1,n-r1,…,n-4.

fn-3=an-3ar1-2-an-3ar1-3-an-4,

fn-2=an-3ar1-1-an-3ar1-2+an-2-an,

fn-1=-an-3ar1-1+an-2a1+an-1-ana1,

fn=an-1a1-ana2.

令fi=0,i=1,2,…,n,由fi=0,i=1,2,…,n-r1-2,得到a1=a2=…=an-r1-2=1.由fn-3=0,有an-4=0.由fn-4=fn-5=…=fn-r1=0,能得到an-4=an-5=…=an-r1-1=0.与ai>0矛盾,故Dn不是蕴含幂零的.

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A New Class of Minimal Spectrally Arbitrary Sign Patterns

J ING Heng-tong,SHAO Yan-ling
(Deptartment of Mathematics,North University of China,Taiyuan030051,China)

Let a sign patternAof ordernis a spectrally arbitray pattern.If for every monic polynomialf(x) of degreenthere is a real matrixB∈Q(A)so that the characteristic polynomial ofBisf(x),Ais known as a spectrally arbitray pattern.In this paper,by using Nilpotent-Jacobian method,a new class of spectrally arbitrary sign patterns is presented,which is proved also to be minimal spectrally arbitrary sign patterns.

sign pattern;spectrally arbitrary sign pattern;potentially nilpotent

O157.5

A

0253-2395(2010)03-0343-06

2009-09-10;

2010-05-11

山西省然科学基金(2007011017;2008011009)

荆亨通(1964-),男,硕士研究生,主要从事组合数学研究.E-mail:jinghengtong-123@163.com