多元回归模型的灰色改进

韩 静,王舒鸿，杨 力

(1.淮南职业技术学院 经济管理系，安徽 淮南 232001；2.南开大学 经济学院数量经济研究所，天津 300071；3.中国科技大学 管理学院，合肥 230026)

0 引言

回归分析是定量分析的重要统计方法，能够研究客观事物的相互关系，测定它们联系的紧密程度，以揭示其变化的具体形式和规律。回归模型需要原始数据有足够的样本量，但有时样本量较少的时候，就无法进行回归建模。而灰色理论正是针对少数据，弱噪声的数据建模，从而有效的弥补了回归模型的不足。根据这种方法，本文拟对2001～2005年工业总产值进行建模，以期为经济预测和宏观调控政策的制定提供一种值得探讨和实践的新途径。

1 灰色预测模型的引入

灰色模型是利用微分方程给出系统生成序列长期、持续的变化过程，这一过程通过生成序列转换得到，生成序列指减弱原序列随机性后的序列，还原生成序列就得到系统趋势作用。

在对数据进行预测时需要研究与该组数据相关的各种因素的影响，但是有些因素是难以确定或者说是难以量化的，我们称之为灰色的。

由于原始数据的观测受到噪声干扰，使得观测值X（0）与真实值 X（0）有偏差 ε（0），且

要把握真实值 X（0），就必须跨越障碍 ε（0）。

1.1 GM(1,1)模型建立与求解

记 x（0）为观测值数列，且

用1—AGO生成一阶累加生成序列

这样新生成的数据弱化了原始数据的随机性，使原来的数据明显接近指数关系规律。对生成序列x（1）(k)建立白化微分方程：

其中，模型参数a,u分别称为发展灰度和内生灰度。

对参数a，u进行最小二乘法估计，分别构造数据矩阵B及数据向量Y

则a，u的估计值为

解微分方程（1）后可以得到：

1.2 模型的检验

根据灰色理论，设：

（1）相对误差

其中，ε为系统残差，s为系统标准差。只有当C0,Δ,P,ε同时满足一级或二级精度等级，模型才能够称为满意的模型，具有较高的精度，预测的数据相对较为准确。精度等级如表1所示。

表1 精度检验等级参照表

1.3 灰色预测

表2为2001～2005年我国国有独立核算工业企业的统计资料，由于原始数列数据量较少（只有五组），若要根据原始数列建立多元线性回归模型，则所建立的模型就不能反应真实情况，对于预测与决策会产生较大的偏差，故引入灰色理论将原始模型进行数据的扩展。

表2 我国国有独立核算工业企业统计资料

根据灰色理论，我们分别对工业总产值，就业人数与固定资产投资进行预测。鉴于灰色模型对短期数据的预测具有较好的拟合效果，故分别对三组原始数据进行灰色建模预测，并预测五组，然后将预测值与原始数据结合，达到多元线性回归模型的建模条件，从而实现对原始数据的扩展。

经灰色拟合，所得到对工业总产值的微分方程的解为：

经过累减还原得到原始数据的拟合数据。经检验，该模型相对误差=0.004372，关联度η=0.996834，均方差比值C0=0.0211491，小误差概率P=1，四项检验指标精度均为一级，通过检验，故可以进行预测。经预测，2006年工业总产值的为101770.67亿元。

参照这种方法，我们还可以得到就业人数的白化方程为：

新增固定资产的白化方程为：

经检验，模型的拟合精度均达到了一级，故可以进行预测。经预测，2006年就业人数为18762.62万人，新增固定资产投资为54251.41亿元。

利用2006年的灰色预测值，结合原始数据重新建立模型进行预测，可以得到2007年的预测值。以此类推，可以得到2006～2010年的预测数据，如表3所示。

表3 工业企业总产值预测数据表

2 多元回归模型

回归分析就是一种处理变量间相关关系的数理统计方法。不仅可以提供变量间相关关系的数学表达式，而且可以利用概率统计知识对此关系进行分析，以判别其有效性；还可以利用关系式，由一个或多个变量值，预测和控制另一个因变量的取值，并进行因素分析。

我们考虑我国工业总产值只与职工人数与固定资产有关，且满足线性关系：

其中，ε为随机误差项。

定义矩阵X，Y与参数矩阵B，且：

则参数B的最小二乘估计为：

经计算得到多元线性回归模型为：

对该模型进行显著性检验，得到统计量值为2248.261，通过查表可以认为回归方程的效果较为显著。

3 建议

从中国统计年鉴的统计数据可以看出，工业对整体国民经济的贡献率始终维持在40%左右，所以要发展经济，就必须要重视工业的发展。

我们定义弹性E表示因变量y随自变量x变化而变化的百分比，且

根据拟合的线性回归方程，可以得出就业人数的工业总产值弹性为0.8134，新增固定资产的工业总产值弹性为0.60077。由于就业人数的弹性较大，故对就业人数的增加在短期内可以很明显的提高工业总产值，且能促进国内消费与增加职工福利。

但是，国家调整的政策取决于国家的偏好：倘若国家更偏好于现期工业总产值的增加，则国家就会增加劳动力的投入而减少固定资产的投资，这样必然影响到经济长期增长的动力；如果偏好经济长期的增长，就会将更多的资源配置在固定资产的投资上，那么现期工人的消费和福利势必会受到影响。所以国家在做出决策的时候，要同时考虑这两种因素的影响，在两者之间做出一个均衡，使我国经济持续、健康、稳定地发展。

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