第41届国际物理奥林匹克竞赛实验试题简介

荀 坤,王若鹏,陈晓林,刘树新

(北京大学物理学院,北京100871)

第41届国际物理奥林匹克竞赛实验试题简介

荀 坤,王若鹏,陈晓林,刘树新

(北京大学物理学院,北京100871)

第41届国际物理奥林匹克竞赛实验含“薄片的弹性”和“磁体之间的作用力、稳定性和对称性”两道题.本文详细地介绍了试题内容和解答,并在必要时作了简短评论.

国际物理奥林匹克;弹性;磁力;稳定性;对称性

1 引 言

第41届国际物理奥林匹克竞赛于2010年7月17日至7月25日在克罗地亚的萨格勒布市(Zagreb)举行.代表中国参赛的5名中学生全部都获得了金牌,俞颐超和吴俊东同学分获总分第一和第二,俞颐超同学还获得了理论第一和欧洲物理学会颁发的最佳解题创新奖.

本届竞赛的实验共两题,分别是“薄片的弹性”和“磁体之间的作用力、稳定性和对称性”.2个实验使用了相同的测量装置.赛会统一提供透明胶带、剪刀、三角尺、笔、纸和绘图纸等,并规定了可使用的计算器型号.本次竞赛的试题相对较短,每题都仅有4页,所以我们尽量保持试题原貌.由于篇幅限制,试题解答尽量采用赛会提供的标准答案.最后,针对中国考生的答题情况作一些简单分析.

2 试题概要

实验题共2道,均使用自己桌上的装置来完成,时限为5 h.

2.1 试题1 片状物的弹性

2.1.1 引言

弹簧是由能储存机械能的弹性材料制成的.大家都知道,螺旋式弹簧(见图1)满足胡克定律,即压缩弹簧所用的力 F与弹簧的被压缩量Δx成正比:F=-kΔx,这里 k是弹簧的劲度系数.然而,弹簧可以不是螺旋形的,并且对于较大的形变,胡克定律一般不再成立.本试题中,要测量由有弹性的薄片做成的弹簧(图2)的性质.图2中弹簧被压缩到一定程度时,其截面具田径场状(含半径均为R0的2个半圆).

图1 螺旋式弹簧示意图

图2 弹性薄片圆筒弹簧示意图

2.1.2 卷成筒形的透明片

1个弹性薄片(例如,1张透明片)被弯曲得越厉害,其中储存的弹性势能就越大.弹性势能依赖于薄片弯曲的曲率.薄片中具有较大曲率的部分会储存较多的势能(薄片中平直的部分曲率为零,不储存势能).本实验所用弹簧就是用矩形透明胶片卷成圆筒而制成(见图3).此圆筒所储存的弹性势能为

这里A表示圆筒的侧面积,Rc表示它的半径,参量κ被称作弯曲劲度系数,由材料的弹性性质和薄片厚度决定.

图3 弹性胶片卷成半径为R c、长度为l的圆筒

假设这样的圆筒被压缩,见图2所示.对于给定的压力 F,偏离平衡位置的位移依赖于透明胶片的弹性.当所加压力在一定范围时,被压缩透明片圆筒的截面和田径场的形状一样,即由两直线和两半径为 R0的半圆组成.可以证实,R0与外力间 F有如下关系:

这里,F用电子秤测量,因此有 F=m g,其中m是电子秤显示的质量读数,g=9.81 m/s2.

2.1.3 实验装置

在桌子上有以下物品(用于实验1):

a.挤压器(带1块镇石);

b.量程为5 000 g的电子秤,该秤具有扣除皮重的功能;

c.若干透明片(尺寸均为21 cm×29.7 cm,其中蓝色透明片厚度为200μm,无色透明片厚度为150μm);

d.长方形木板(该板放在秤上,圆筒再放在该板上).

图4 测量弯曲劲度系数的装置图

此装置的用法如图4所示.通过旋转翼型螺丝帽可使挤压器的上平板做上下移动,挤压器施加的作用力由电子秤测量.翼形螺帽的螺距为2 mm.

2.1.4 任务

1)分别将2张蓝色透明片卷成圆筒状,其中一张沿长边卷,另一张沿短边卷,首尾边缘的交叠量以0.5 cm为佳,卷好后用胶带固定.

a.对2种透明片圆筒,分别测量称得的质量读数与挤压台的2个平板之间的距离的依赖关系.(1.9分)

b.由测量结果做图.借助目测和直尺,在数据点中画出适当的直线,并由此定出2个透明片的弯曲劲度系数κ.在图上标出近似关系(即田径场近似)成立的区域.估计当分别小于何值时“田径场近似”才成立,这里Rc是圆筒弹簧未被挤压时的半径.(4.3分)

2)测量1张无色透明片的弯曲劲度系数.(2.8分)

3)弯曲劲度系数κ与杨氏模量 Y和透明片厚度d间的关系为

这里ν是材料的泊松比,对大多数材料,ν≈1/3.由前面的测量结果,分别确定蓝色和无色透明片的杨氏模量.(1.0分)

2.2 试题2 磁体之间的作用力、稳定性和对称性

2.2.1 引言

在面积为S的闭合环路中流过电流I时,将产生大小为m=IS的磁矩(图5).永磁体可以被看成大量小磁矩的集合,而每个小磁矩又可以看成由1个电流环产生的.这个磁体的模型(安培模型)可以用图6来说明.总磁矩就是所有这些小磁矩之和,方向从南极指向北极.

图5 电流环及其产生的磁场示意图

图6 磁体被看成是电流环的集合

2.2.2 磁体间的作用力

计算2个磁体之间的作用力并不容易.我们知道,相同磁极间相互排斥,不同磁极间相互吸引.2个电流环之间的作用力依赖于电流环中电流的大小、电流环的形状以及它们的相互距离.如果使其中的1个电流环中的电流反向,2个电流环的作用力的大小不变,但方向相反.

在本试题中,要通过实验来研究1个环形磁体(磁环)和1个棒状磁体(磁棒)之间的作用力.我们感兴趣的是2个磁体的对称轴重合(见图7)时的情况.磁棒能沿 z轴从左向右移动,穿过磁环(见图7),再继续向右.测量上述2个磁铁之间的作用力随z变化的函数关系.取2个磁铁的中心重合的点为原点,即z=0.

图7 磁棒和磁环的对称轴重合,它们间作用力随着磁棒沿z轴移动而变化

为了确保磁棒沿对称轴(z轴)移动,磁环被固定在透明的圆筒内,圆筒沿z轴打有一细孔,见图8,于是,磁棒被限制细孔内,只能沿z轴移动.2个磁体均沿z轴方向磁化.细孔确保2个磁体间没有径向的相对位移.

图8 2个磁体及中空透明圆筒的照片

2.2.3 实验装置

桌上应放有下列部件:

a.挤压器(包括1个镇石);

b.量程为5 000 g的电子秤(具备去除皮重的功能);

c.1个中空的透明圆柱,其中一端内置1个环形磁铁;

d.1个柱形磁铁;

e.1个细木棍(可用来将柱形磁铁推出透明圆筒).

用此装置测量磁体之间作用力的方法如图9所示.相对于试题1,需要将挤压器的上平板翻转过来.挤压器上平板上的细铝棒是用来在改变柱形磁铁在透明圆柱细孔中的位置.电子秤用来测作用力(显示的是质量).挤压器的上平板可由转动翼型螺帽上下移动.

图9 测量磁体间作用力时的实验装置

2.2.4 任务

1)假设z轴如图7取在水平面内,请借助手和木棍定性地确定2个磁铁之间的所有平衡位置,并在答题纸上画出来.答题纸上已经给出了1个稳定平衡位置的表示方法,要求按照这个方法来画出其他所有平衡位置,用S标记稳定平衡,用U来标记非稳定平衡,用阴影来区分磁铁的极性.(2.5分)

2)使用所给实验装置测量不同 z坐标下2个磁铁之间的作用力.令z轴的正方向指向透明圆筒内(沿正方向的作用力是正值).对于磁矩平行的各种配置,作用力用 F↑↑(z)标记,磁矩反平行则用 F↑↓(z)标记.提示:忽略磁棒的质量(即忽略重力),利用磁铁之间作用力的对称性测量曲线的不同部分.分析作用力的所有对称性,并写在答题纸上.在答题纸上写出测量值,并在每个记录表旁,仿照给出的示例,画出与该表对应的磁铁配置.(3.0分)

3)利用任务2所获得的测量值,在坐标纸上详细地画出作用力 F↑↑(z)在z＞0范围的函数依赖关系,分别画出曲线 F↑↑(z)(沿z轴的正向和反向)和 F↑↓(z)(沿z轴的正向和反向)的曲线示意图.在2个曲线示意图上标记每个稳定平衡点的位置,并画出相应的磁铁位置以及极性配置图.(4.0分)

如果不忽略棒形磁铁的质量,当z轴垂直设置时,平衡位置总数可能会增加,请在答题纸上画新增加的所有平衡位置.(0.5分)

两道试题都不要求作误差分析.

3 试题解答

试题1之任务1:在将透明片卷成圆筒状时只要保证两端直径基本相等就不会对结果产生太大的影响.在将圆筒放置到挤压器中时,一定要让接缝与挤压器顶或底相切.这样,当圆筒被稍微挤扁后接缝的影响就可以略去.

任务1中a要分别列表给出2个圆筒的测量结果.测量点要覆盖形变较大(田径跑道状)和较小的2个区域.每个表中至少要包括12组数据,其中,形变较大区域的数据点不得少于8个,形变较小的区域数据点不得少于4个.对每种圆筒,数据点正确(包括范围、点数和数值等)得0.7分;表中各栏所取量和单位正确得0.15分;清楚指出圆筒的初始半径 Rc得0.1分.表1和表2分别为对2个圆筒的测量结果.

表1 沿长边卷圆筒的测量结果 (l=21.0 cm,R c=4.40 cm)

表2 沿短边卷圆筒的测量结果 (l=29.7 cm,R c=3.60 cm)

任务1中b利用任务1中a的结果可画出图10,双箭头记号的左下方田径跑道近似成立.图中给出的拟合直线的斜率 a分别为500和700.每个图满分为1.4分.要求正确地选择纵、横轴的量并清楚地在轴上标明(单位也要正确),要用一条过原点的直线来拟合实验点,且原点要清楚地标出.还要在图中清楚地标明田径跑道近似成立的范围和拟合直线的参数.每缺1个标记要扣0.1分,如缺刻度每轴扣0.1分.

图10 蓝色透明片圆筒的受力与形变

纵、横轴的选取方式允许有多种,但它们间的依赖关系必须是线性的.如果采用双对数作图,拟合直线可不过原点.1位中国学生选择了用m-

作图,对此,改卷官也依然要求拟合直线要过原点.应该指出,采用作图要比用更好,因为前者在量值较小时是线性的,后者则相反.中国学生中只有俞颐超同学的拟合直线是过原点的,他此题得了满分.

由拟合直线的斜率a可以很容易得到蓝色透明片的弯曲劲度系数.2种圆筒测得的结果均为:κ=1.5 mJ(分值0.5+0.5).对沿长边卷和沿短边卷的圆筒,田径跑道近似的范围分别为0.70和≤0.77(分值0.5).

试题1之任务2:此部分只是重复任务1的内容,最后得:κ=0.8 mJ(分值1.0),数据(分值0.9)和图(分值0.9)见表3和图11.

表3 无色透明片卷筒的弯曲劲度系数测量(l=21.0 cm,R c=4.50 cm)

图11 无色透明片圆筒的受力与形变

这里并不要求数据点要覆盖田径跑道近似不成立的区域,即可以只测量图11中线性关系成立的部分.圆筒既可以沿长边卷,也可以沿短边卷,也不要求给出圆筒的初始半径和指出线性关系成立的范围.

试题1之任务3:由任务1的结果和式(3)容易得到蓝色透明片的杨氏模量为Y=2.0 GPa(分值0.6);由任务2的结果和式(3)得到无色透明片的杨氏模量为Y=2.5 GPa(分值0.4).

试题2之任务1:将有机玻璃圆筒水平放置,将磁棒插入其内,用手或木棍推动磁棒,可以找到磁棒受力为零的位置.将磁棒的极性反转,重复上面操作,平衡的稳定与非稳定性会反转.一共可以找到6个平衡位置,稳定平衡与非稳定平衡各3个,见图12;图中S与U分别表示稳定与非稳定平衡.其中,第一种位形已在答题纸上画出只需指出此位形是稳定平衡还是非稳定平衡(分值0.25),其他各位形分值为0.45分.

所有中国学生都能找出全部稳定平衡位形,但也有个别学生漏过了所有非稳定平衡位形.

图12 磁环与磁棒间受力为零时的位形示意图

试题2之任务2:很容易找出两磁体间作用力的对称性:上面3个式子并不独立,只需写出其中任意2个即可得满分0.6分.

按图4所示的的方法放置已插入磁棒的有机玻璃圆筒,使挤压器上的铝质细杆在升降时能让磁棒在有机玻璃圆筒内顺畅地上下移动.在铝质细杆未接触到磁棒时设定电子秤的零点,在忽略重力的情况下,以后电子秤测得的就是两磁体间的互作用力.

实际上,要测出完整的磁力位置依赖关系需要分别从3个稳定平衡位置出发作分段测量.每一段测量要分别列表,并要画出测量开始处的平衡位形图,如表4～6.

表4 磁力与位置的关系Ⅰ (z0=0.0 mm)

表5 磁力与位置的关系Ⅱ (z0=10.8 mm)

表6 磁力与位置的关系Ⅲ (z0=18.6 mm)

本任务中的每一段测量满分为0.8分,其中,起始稳定平衡位形(要画出)正确占0.15分;起始位置正确[分别为0,(11.0±0.6)mm,(18.5±0.6)mm]并包括正确的单位占0.2分,虽然起始点位置的数值超出允许范围,但超出量不大,且3段曲线能平滑地衔接,则不扣分;如果测量点在10个以上,且包括曲线的全部细节,得0.35分,测量点在10个以上,但未包含曲线的全部细节,或测量点在5～10个但能包含曲线的全部细节,得0.25分,测量点在5～10个间,但取点不均匀,得0.1分,测量点低于5个不给分;表中各栏单位正确得0.1分.

中国学生在此部分出现了一些问题:1)在平衡位置处未作测量.评分标准要求3个表中第一点的电子秤读数为零或非常接近于零,但中国学生基本上都没有达到此要求.中国学生可能为了让翼型螺帽处在较正的位置而使m的第一个读数较大.2)Δz的最小取值只到1 mm.因为翼型螺帽的螺距为2 mm,中国学生认为1 mm的升降对应螺帽只转了半圈,已经足够小了.但在测第二段时,如果位置间隔取1 mm,则测量点会不到10个.考虑到此段磁力变化非常剧烈,测量点确实应该再取密一些,螺帽旋转 1/4圈升降0.5 mm,还是很容易做到的.此外,还有个别学生没有画初始位形图或只测了两段数据.

试题2之任务3:虽然测得表4和表6时磁棒与磁环的极性为反平行,但可利用式(5)得到磁棒与磁环极性平行时的结果,如再将各段测量的初始z0值加到Δz上,就可得到完整的 F↑↑(z)关系,如图13所示.

图13 极性平行时磁棒与磁环间作用力与距离的关系

根据磁力的对称性关系式(4)～(6),很容易得到 F↑↑(z)(沿 z轴的正向和反向)和 F↑↓(z)(沿z轴的正向和反向)的曲线示意图如图14和图15所示.

图14中水平虚线标记磁力为零的位置,3处是z轴零点,1～5标记平衡位置.其中,2与4处曲线斜率为正,是非稳定平衡位置;1,3和5处曲线斜率为负,是稳定平衡位置,对应的磁体位形也已在图中画出.

图14 极性平行时磁棒与磁环间作用力与距离的关系示意图

图15 极性反平行时磁棒与磁环间作用力与距离的关系示意图

图15中水平虚线标记磁力为零的位置,8处是z轴零点,6～10标记平衡位置.其中,6,8和10处曲线斜率为正,是非稳定平衡位置;7和9处曲线斜率为负,是稳定平衡位置,对应的磁体位形也已在图中画出.

图13由表4～6的3段数据画出,满分为2.0分.如每一段曲线包含10个以上的测量点,且这些点分布合理,给出了全部细节,则各得0.5分.如果一段曲线的实验点数足够但分布不合理,或虽能给出曲线的细节,但实验点数不够,得0.4分.如果一段曲线的实验点数在5～10间,且分布不合理,得0.2分.如果一段曲线的实验点数不足5个则不得分.能正确标出每一个轴的量和单位各得0.1分.磁力的最大值在允许范围(1 050～1 350 g)内得0.1分.如果3段曲线能够平滑衔接得0.2分.

图14和图15的满分各为1.0分.如果一个示意图与另一示意图相互颠倒可得0.1分.每一个图可认为是由6段组成(z＞0有3段,z＜0有3段),正确画出一段得0.1分.能正确指出稳定平衡位置并画出相应的位形图得0.2分.各个轴量表示正确得0.1分.

部分中国学生在指出平衡位置和画出相应的位形图时犯了一些不该犯的错误,估计是对磁极方向的表示和z轴的取向不十分清楚.磁棒上并没有任何记号,其实际取向很容易混淆.

试题2之任务4:在图14和图15中分别画y=mpg的直线(mp为磁棒的质量),此线与F↑↑(z)和 F↑↓(z)曲线的交点即为考虑了重力后的平衡位置,磁力导数为负的平衡位置是稳定平衡位置.显然,只有在图15中会增加1个稳定平衡位置,对应的位形如图16所示.

图16 考虑重力后新增加的稳定平衡位形

4 结束语

本次竞赛的考题总体上讲出得较好.实验装置简单,利用米尺测距离,电子秤测力,仪器总价仅约600元人民币.虽然实验器材都是日常生活中经常接触的,如透明片、小磁体和电子秤等,但实验内容还是有新意.注重考基本的实验素养.此次竞赛所给答题纸基本上是空的,测量表格需要自己设计,要测多少点,如何布点都需要同学自己决定.像图10和图11中拟合直线必须过原点这一类细节也作了严格的考察.注重考物理,这在第二题中体现得更充分.此题的任务1实际上就是要让学生用一根细木棍来玩插在有机玻璃圆筒内的磁棒,并得到定性的结果.任务2的完成则需要利用到磁力的对称性.与前几届重视实验速度不同,本次竞赛时间相对说来不是那么紧张.此外,本次竞赛评分非常严格,任何小错都会被扣分,因此,只有对细节非常注意的同学才可能得到高分.

[1]吕斯骅,段家忯.新编基础物理实验[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]马秀芳,沈元华.第八届亚洲物理奥林匹克竞赛中实验考题的分析[J].物理实验,2007,27(12):29-33.

[责任编辑:尹冬梅]

Problem and solution of the 41stInternational Physics Olympiad experimental test

XUN Kun,WANG Ruo-peng,CHEN Xiao-lin,L IU Shu-xin
(School of Physics,Peking University,Beijing 100871,China)

The 41stInternational Physics Olympiad experiment test consists of two independent tasks:the elasticity of sheets and the forces betweenmagnets.The texts and the solutions for the two p roblem s are given in Chinese w ith brief comments.

International Physics Olympiad test;elasticity;magnetic fo rce;stability;symmetry

G633.7

A

1005-4642(2010)11-0021-08

2010-08-31

荀 坤(1961-),男,贵州关岭人,北京大学物理学院副教授,博士,从事物理实验教学工作.