幂等矩阵的相似标准型与分解形式

董庆华，王成伟

(北京服装学院 基础教学部，北京 100029)

0 引言

在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果, 都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b, 其中的系数矩阵A往往是一个幂等矩阵。 为此，有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。

定义1：设有n阶方阵A满足A2=A, 则称方阵A为幂等矩阵。

显然，n阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。 关于幂等矩阵，目前已有一些结论, 我们选择其中三个作为性质列举如下：

2) 若方阵B是幂等矩阵, 则BT和E-B也是幂等矩阵[2]；

3)若n阶方阵A为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n[3]。

我们将首先以线性变换的方法来构造幂等矩阵的相似标准型，然后在此基础上研究幂等矩阵的秩和迹之间的关系，以及幂等矩阵在矩阵分解中的重要作用。

1 主要研究内容与结果

1.1 幂等矩阵的相似标准型

对角矩阵可以认为是形式最简单的一种矩阵, 对角矩阵的特征值就是其主对角线上的全部元素, 对角矩阵的秩就等于主对角线上非零元素的个数。接下来我们以幂等矩阵的特征值为线索，探求幂等矩阵的具有对角形式的相似标准型。

定理1： 若n阶方阵A为幂等矩阵, 并且A的秩R(A)=r，则存在可逆矩阵P使得

P-1AP=(Er000)

(1)

证明：在n维线性空间V中任取一组基(ε1,ε2,…εn), 定义线性变换σ在基(ε1,ε2,…εn)下的矩阵为A, 即

σ(ε1,ε2,…εn)=(ε1,ε2,…εn)A

假设Ax=λ，其中x≠0，则由λx=Ax=A2x=λ2x，得λ2=λ，所以幂等矩阵特征值为1或0。 由于矩阵A的秩R(A)=r, 故A的n个特征值中有N个1以及n-r个0, 则其特征多项式:

f(λ)=(λ-1)rλn-r

从而V可以分解为特征子空间的和:

V=Vλ=1⊕Vλ=0

先在特征子空间Vλ=1={ξ|(A-E)ξ=0,ξ∈V}中任取一组基α1,α2,…αr, 然后在特征子空间Vλ=0={ξ|Aξ=0,ξ∈V}中任取一组基β1,β2,…βn-r, 则α1,α2,…αr,β1,β2,…βn-r就是V的一组基, 显然

Aα1=α1,Aα2=α2,…Aαr=αr,Aβ1=0,Aβ2=0,…Aβn-r=0 。

这就是说

σ(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βn-r)=(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βn-r)(Er000)

由于线性变换σ在不同基下的矩阵都是相似的, 因此存在可逆矩阵P使得

P-1AP=(

Er000),0≤r≤n

此时, 我们也称(Er000)为幂等矩阵A的相似标准型。值得指出的是, 根据Hamilton - Caylay定理, 线性空间可以分解为特征子空间的和：

V=Vλ=1⊕Vλ=0

其中Vλ=1恰好构成了线性空间V的值域Imσ={σξ|ξ∈V}, 而Vλ=0恰好构成了线性空间V的核Kerσ={ξ|σξ=0}。

根据幂等矩阵的相似标准型, 幂等矩阵可以具体分为以下三种类型，并且, 其中除了单位矩阵，其他类型的幂等矩阵都是不可逆的。

当r=0时,A=POnP-1=On, 即A为零矩阵;

当r=n时,A=PEnP-1=En, 即A为单位矩阵;

当0

1.2 幂等矩阵的秩和迹

矩阵的秩和迹, 是描述矩阵的两个基本数字特征，幂等矩阵的秩与迹之间还有如下的重要关系。

定理2：设n阶方阵A为幂等矩阵, 则A的秩恰好等于它的迹，即

R(A)=Tr(A)

(2)

证明：设A为幂等矩阵, 且其秩R(A)=r, 则A存在可逆矩阵P使得

P-1AP=(Er000)

根据矩阵的秩的基本性质, 可知R(A)=R(P-1AP)=r

与此同时，考虑到矩阵的特征方程中特征根与系数的关系，可知

所以R(A)=Tr(A)

1.3 幂等矩阵的分解形式

众所周知，任意可逆n的阶实矩阵M都可以分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积:M=QT, 其中Q为正交矩阵,T为上三角矩阵[4]。 受此启发, 我们来探究幂等矩阵在矩阵分解中的作用。

定理3 ：任意n阶方阵M的都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，即

M=KA

(3)

其中|K|≠0，A2=A。

证明：假设n阶方阵M的秩R(M)=r，则存在可逆矩阵P与Q使得

PMQ=(Er000)

从而

MP-1(Er000)Q-1=(P-1Q-1)Q(

Er000)Q-1=(QP)-1(Er000)Q-1

如果令

K(QP)-1,A=Q(Er000)Q-1

则M=KA，其中

A2=Q(Er000)Q-1.Q(Er000)Q-1=Q(Er000)Q-1=A

定理4 ：若n阶方阵A为幂等矩阵, 则可以分解为两个对称矩阵的乘积,即

A=S1S2

(4)

证明：根据幂等矩阵的相似标准型，存在可逆矩阵P, 使得

A=P(Er000)P-1=P(Er000)PT(PT)-1P-1=P(Er000)PT(PPT)-1

如果令

S1=P(Er000)PT,S2(PPT)-1

那么A=S1S2，其中

2 结语

我们以幂等矩阵的特征值为线索，相对系统地研究了它的一些基本性质。具体说来，幂等矩阵存在着对角形式的相似标准型，幂等矩阵的秩恰好等于它的迹，任意方阵都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，幂等矩阵可以分解为两个对称矩阵之积的形式。

[参考文献]

[1] 宿维军.幂等矩阵与幂等变换[J].重庆文理学院学报，2008, 27(2): 28-29.

[2] 王秀芳.幂等矩阵的性质研究[J].连云港师范学院学报，2007(3): 83-84.

[3] 龚和林,舒情. 关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广[J].大学数学,2009, 25(6): 127-129.

[4] 北京大学数学系．高等代数[M]北京：高等教育出版社，1997:395-396．