“翻棋”

毛传林

摘要：众所周知，所有的整数能够被分成奇数和偶数两大类，我们也经常选0作为偶整数这一类的代表，选1作为奇整数这一类的代表。我们对自然界中存在的各种物体，看到的各种现象都在进行着分类，并选出一类中的某个典型代表作为这一类的标准型。

关键词：翻棋 数学 转化 分类 标准型

整数分为奇数和偶数，二次曲线分为椭圆和双曲线。给定一个二次曲线方程，怎么判断其是椭圆还是双曲线？常见的做法是将曲线方程化为标准型，然后再加以判别。实际上，此方程中蕴涵着转化、分类，并从每一个类中选出一种最为简单、最能够反映性质的元素，作为这一类元素代表的逻辑过程。此外，每一个类中的元素，由于都能够转化为标准型元素，所以同一类中的元素之间实际上是可以相互转化的。本文以“翻棋”游戏作为研究对象，简单浅析说明转化、分类、确定标准型这一深刻的数学思想。

“翻棋”游戏常常被描述如下：在3× 3方格中有9颗棋子（棋子的正面是黑色，反面是白色）。每次任选一行或者一列，把所选行或列的全部棋子正反面翻转叫做一次T操作。请问：能否经过有限次T操作，将某个图形下的棋子全都变成黑色朝上？

一、1× 1方格和2× 2方格

3× 3方格里面9个棋子，每个棋子正反面又分别有黑白两种颜色，这样对应的图形将会产生29（=512）种可能情况，似乎太多了点。我们先来考虑1× 1方格和方格2× 2方格两种较为简单的情况吧。

很容易看到1× 1方格只有一个格子，里面棋子如果是正面黑色朝上，那么不用操作，或者说经过0次T操作，就把全部棋子变成黑色朝上了；如果是反面白色朝上，那么只需要经过1次T操作，就可以把全部棋子变成黑色。所以，可以得到结论：对于1×× 方格，不论棋子怎么摆放，我们都可以经过有限次T操作，将棋子全部变为黑色。

現在，来讨论2× 2方格的情况。在2× 2方格中放上棋子，将会产生16种可能情况，不算太多，我们可以把他们全部画出来，如下：

为了方便叙述，我们给上述16种情况给出ABCD……的编号，并写在图形下方。注意到每经过一次T操作，从一个旧的图形出发，我们可以得到一个新的图形，如选图形A的第2行进行T操作，我们会得到图形K；当然，选图形K的第2行进行T操作，我们会重新得到图形A。这使得我们意识到，假如两个图形可以经过有限次T操作相互转化，那么他们中只要有一个最终可以通过有限次T操作变成全部黑面朝上，则另外一个图形也可以通过有限次T操作变成全部黑面朝上了。这种转化，驱使我们想知道，看哪些图形之间可以相互转化，而哪些图形之间不能相互转化。我们把可以相互转化的图形看作是一类的。这样，问题来了：所有图形能够分成多少类呢？

命题1：我们规定，如果两个图形，可以经过有限次T操作相互转化，那么这两个图形被说成是同为T类的；否则，被说成不是同为T类的。

问题：2× 2方格下棋子的图形，经过有限次T操作，可以分为多少个不同的T类？

在2× 2方格的情况下，我们可以将全部16种图形分成下述两类。请读者自行验证，上述同一类的图形如何通过T操作相互转化。

由上述分类可以看出，对于2× 2方格，如果正面黑色朝上的棋子个数是偶数的时候，相应的图形可以经过是可以经过有限次T操作变成图形A，也就是全部黑色朝上的；否则，正面黑色朝上的棋子个数是奇数个的时候，相应的图形是不可能经过有限次T操作变成图形A的，但是我们发现它们总可以变成图形B。实际上，这时，我们就把图形A当成了第一类中所有图形的代表，图形B当成了第二类中所有图形的代表，图形A和图形B也被称为标准型。

二、3× 3方格

3× 3方格中棋子对应的图形的情况有29（=512）种之多，不可能像2× 2方格时那样一一罗列出来，该怎么办呢？我们发现，在处理2× 2方格时，通过图形间的转化，分类，并确定标准型的想法还是可以使用的。 最后，我们得到的图形，第1行3个格子和第1列3个格子里面的棋子一定都是黑面朝上。这样的一个图形我们称之为标准型。综合上面的分析，我们可以得到下述命题：

命题2：令X是一个3× 3方格棋子的图形，那么可以经过有限次T操作，将图形X变成一个第1行3个格子和第1列3个格子里面的棋子都是黑面朝上的标准型。

对于一个3× 3方格下棋子的图形，它可以转变到两个或者多个标准型吗？下面的命题告诉我们，这是不可能的，它只可能转变成一个标准型。

命题3：令X是一个3× 3格下棋子的图形，经过有限次T操作将X转化为标准形，那么X只有唯一的一个标准形。 证明：设图形X可以经过有限次T操作化为标准型Y，也可以化为标准型Z。假设Y和Z在某个格子里的

棋子颜色不一样。不妨，在这个格子里，Y图形的棋子是黑色，Z图形的棋子是白色。可以看到，需要对Z图形里，这个白色棋子所在的行或者列，一共进行奇数次T操作，才能将这个棋子的颜色变成黑色。但是，这将导致，Z图形中，和这个白色棋子位于同一行或同一列的第1个棋子的颜色变为白色。 所以图形Y和Z是不能通过有限次T操作相互转化的。这与他们都可以通过X经过有限次T操作转化而来矛盾。我们得到结论，Y和Z必须完全相同，也就是X只有唯一的一个标准型。

三、结论

在各种数学理论或者专著中常用的术语“等价关系”和“等价类”，大众读者往往只能记住这两个术语的数学描述，而不知其到底为什么要给出这样的描述，于是就有了数学抽象、深奥，但却不切实际的感觉。实际上，所谓“等价关系”就是对元素可以相互转化的抽象描述，“等价类”也就是在讲可以相互转化的所有元素被视为一类。所以，数学理论中，一般只要出现这两个术语的地方，对应的就是在对研究对象进行分类。

通过“翻棋”这一简单而有趣的游戏，在游戏过程中，首先对图形变化有了朴素的感性认识。然后，利用分类的基本方法论，能够使学生在数学上对怎样分类，如何分类，怎么确定标准型，有个理性认识，从而慢慢理解“等价关系”和“等价类”内涵，最终掌握分类的基本方法论。

参考文献：

[1]张远南.使人聪明的数学智力游戏[M].上海科学普及出版社，1993.

[2]Brina Bolt著.黄启明译.数学乐园[M].浙江科学技术出版社，1997.