G ira rd Q uan ta le范畴中的乘积

李 静,泥立丽,张文倩

(1.泰山学院数学与系统科学学院,山东泰安 271021;

2.肥城市汶阳中心小学;3.肥城市汶阳中心中学,山东肥城 271606)

G ira rd Q uan ta le范畴中的乘积

李 静1,泥立丽1,张文倩2,3

(1.泰山学院数学与系统科学学院,山东泰安 271021;

2.肥城市汶阳中心小学;3.肥城市汶阳中心中学,山东肥城 271606)

本文讨论了Girard Quan tale范畴的乘积,并且给出了该乘积的结构,同时证明了此范畴中有等化子.

Girard Quantale范畴;等化子;乘积

0 引言

1986年,C.J.M u lvey在研究非交换的C＊-代数的谱时首先提出了Q uan tale的概念,从此,Quan tale理论受到了数学家和逻辑学家的广泛关注,而对于Quantale理论较为系统地介绍始于1990年文献[1]的出版.在这20多年的发展中,有关Quan tale理论的新观点、新应用相继被揭示,如文献[2-4].而本文结合范畴论[5]的研究方法,借助于文献[6-7]的一些思想方法,证明了GirardQuan tale范畴中有等化子,并且构造出了Girard Quantale范畴的乘积结构.

下面是一些预备知识,本文未加定义的概念、记号见文献[1,5].

定义1[1]设Q为完备格,&为Q中满足结合律的二元运算.若

则称Q为Quan tale.

用0和1分别表示Q的最小元和最大元.

定义2[1]设Q为Quantale,s∈Q,若∀a∈Q,有a→ls=a→rs则称s为Q的循环元.

设Q为Quan tale,d∈Q,若∀a∈Q,有(a→ld)→rd=a=(a→rd)→ld,则称d为Q的对偶元.

若d既为Q的循环元又为Q的对偶元,则称d为Q的循环对偶元.

定义3[1]设Q为Quantale,若Q含有循环对偶元d,则称Q为Girard Quan tale.

定义4 所有仅含一个循环对偶元的Girard Quantale(以下仅称为Girard Quantale)和保循环对偶元的Quantale同态(以下简称为Girard Quanta le同态)构成的范畴称为Girard Quantale范畴,记作GQuant,用Ob(GQuan t)表示GQuant-对象类,用M or(GQuant)表示GQuant-态射类.

定义5[5]设C是一个范畴,f,g:A→B是C-态射.二元组(E,e)称为f,g在C中的一个等化子,若E∈O b(GQuant)且

(1)e:E→A是C-态射;

(2)f°e=g°e;

(3)∀E’∈O b(C),∀e’:E’→A∈M or(C)使得f°e’=g°e’,则存在唯一的C-态射∀-e:E’→E使得e’=e°-e,

即下图可换:

1 Girard Quantale范畴中的乘积结构

命题1 设Q1,Q2为Girard Quan tale,f1,f2是从Q1到Q2的Girard Quan tale同态,则f1和f2有等化子.

注1 命题1中的e是Girard Quan tale范畴中的正则单态射,(Q,e)为Q1的子对象.

命题2 Girard Quan tale范畴有有限乘积.

设π1,π2分别是P×Q到P,Q上的投射,易知π1,π2是Girard Quantale同态.下面说明(P×Q,π1

×π2)是P,Q在范畴GQuant中的乘积.

∀S∈Ob(GQuan t),f:S→P,g:S→Q是Girard Quantale同态.取h:S→P×Q为:∀s∈S,h(s)=(f(s), g(s)).显然f=π1°h,g=π2°h.如下图所示:

下面验证h是Girard Quan tale同态.

(3)设d∈S为S中的循环对偶元,由于f,g都为Girard Quantale同态,所以f(d)=d1∈P,g(d)= d2∈Q,分别为P,Q中的循环对偶元,所以h(d)=(f(d),g(d))=(d1,d2)就为P×Q中的循环对偶元.

故h是保循环对偶元的Quantale同态.

下证这样的态射h是唯一的.假设还存在h’使得f=π1°h’,g=π2°h’,那么∀s∈S,h(s)=(f(s),g(s)) =(π1°h’(s),π2°h’(s))=h’(s),所以h=h’.

故P×Q是P与Q的乘积.

下面我们把Girard Quantale P和Q的笛卡儿积P×Q推广到任意Girard Quantale族Qii∈I上,如下定义笛卡儿乘积Πi∈IQi上的运算:其中的序关系采用点式序.笛卡儿乘积的“&”运算是按分量做“&”运算,Πi∈IQi中的循环对偶元是这样的一个元素:它的每个分量为循环对偶元.由此得到下面的命题.

定理1 Girard Quan tale范畴有乘积.

由于φi为Girard Quan tale同态,所以易知φ也为Girard Quan tale同态.

所以Πi∈IQi是Girard Quan tale范畴的乘积.

[1]Rosenthal I.Quantales and their app lications[M].New York:Longman Scientific&Technical,1990.

[2]王伟华,吴洪博.非交换BR0-代数与其上的Quan tale[J].计算机工程与应用,2008,44(25):43-45.

[3]张小红,魏萍.DR0-代数:由DeM organ[N].代数导出的正则剩余格[J].数学进展,2008,37(4):499-511.

[4]梁少辉,赵彬.连续Quan ta le及其范畴性质[J].陕西师范大学学报(自然科学版),2008,36(5):1-5.

[5]Herrlich H.Category theo ry[M].Berlin:Heldermann Verlag,1979.

[6]樊太和.分子格范畴中的积运算[J].科学通报,1986,31(4):243-247.

[7]徐晓泉.完全分配格范畴中的乘积和上积及其结构[J].科学通报,1990,35(9):623-646.

The Product in the Category of G irard Quan ta le

L IJing1,N ILi-li1,ZHANGW en-qian2,3
(1.SchoolofM athematicsand System s Science,Taishan University,Tai’an,271021;
2.W enyang Central Prim ary School;3.W enyang CentralM idd le Schoo l,Feicheng,271606,China)

In thispaper,the p roduct in the category of Girard Quantale is considered,and its conform ation isgiven.A t the sam e tim e,the theo rem isp roved,which the category of Girard Quantale has the equalizer.

the catego ry of Girard Quantale;the equalizer;the p roduct

O 153.1

A

1672-2590(2010)03-0018-04

2010-04-10

李 静(1981-),女,山东肥城人,泰山学院数学与系统科学学院讲师.