二阶奇异边值问题正解的存在性

李洪梅

(泰山学院数学与系统科学学院,山东泰安 271021)

二阶奇异边值问题正解的存在性

李洪梅

(泰山学院数学与系统科学学院,山东泰安 271021)

讨论奇异边值问题u"+f(t,u)=0,αu(0)-βu’(0)=0,γu(1)+δu’(1)=0正解的存在性.通过使用锥上的不动点定理得出一个和多个正解的存在性.

奇异边值问题;正解;不动点定理

0 引言

本文考虑二阶奇异边值问题

现在这方面的文章相对较多,例如文献[1-2].其中文献[1]是利用范数形式的锥拉伸和压缩不动点定理得出存在性,文献[2]在极限条件和可积条件下得出结论.本文利用另外的锥上不动点定理建立了边值问题存在多个正解的充分条件.我们的结论推广并丰富了文献[1-2]的主要结果.

1 预备知识和引理

设E是实Banach空间,P是E中的锥,P导出E中的半序,即:x≤y⇔y-x∈P.

进一步,对t:θ≤t≤1-θ有

引理3[4]设K是实Banach空间E中的锥,是全连续算子.假定下列条件成立:

注1 如果(a)在∂Kr上成立,且(b)在∂KR上成立,则结论仍然成立.

2 正解的存在性

定理1 假设存在两个不同的正常数λ和η,使得

那么,边值问题(1)至少存在一个解u(t)介于λ和η之间.

对(8)式,分两种情况讨论:

注2 推论1包含f是超线性和次线性的情形.

3 多个正解的存在性

定理2 假设存在λ>0,使得条件(h1)成立,且满足下列条件

故由定理1知,存在两个解u1,u2,使得0<λ1‖u1‖<λ<‖u2‖<λ2.

定理3 假设存在η>0,使得条件(h2)成立,且满足条件

那么边值问题(1)至少存在两个解u1,u2,使得0<‖u1‖<η<‖u2‖.

定理4 假设条件(H1),(H2)成立,且存在常数0<λ1<λ2使得条件(h1)对于λ=λ2(或λ=λ1)成立,条件(h2)对于η=λ1(或η=λ2)成立,那么边值问题(1)至少存在三个正解u1,u2,u3,满足

定理3、定理4的证法与定理2,推论1的证法类似,从略.

注3 由定理2-定理4可见,当条件(h1),(h2),(H1),(H2)适当组合,我们可以得到边值问题(1)存在任意多个正解,具体地说,我们有

定理5 令n=2k+1,k∈N,假设(H1),(H2)成立,并存在常数0<λ1<λ2<…<λn-1,使得条件(h2) (或(h1))对于λ2i-1,1≤i≤k成立,条件(h1)(或(h2))对于λi2,1≤i≤k成立,那么边值问题(1)至少存在n个正解u1,u2,…,un,满足0<‖u1‖<λ1<‖u2‖<λ2<…<‖un-1‖<λn-1<‖un‖.

定理6 令n=2k,k∈N,假设(9),(10)成立,并存在常数0<λ1<λ2<…<λn-1,使得条件(h1)(或(h2))对于λ2i-1,1≤i≤k成立,条件(h2)(或(h1))对于λ2i,1≤i≤k成立,那么边值问题(1)至少存在n个正解u1,u2,…,un满足0<‖u1‖<λ1<‖u2‖<λ2<…<‖un-1‖<λn-1<‖un‖.

[1]马如云.奇异二阶边值问题的正解[J].数学学报,1998,41(6):1225-1230.

[2]李仁贵,刘立山.二阶奇异非线性微分方程边值问题的正解[J].应用数学和力学,2001,22(4):435-440.

[3]JunyuW ang.Theexistenceofpositive solutions for theone-dim ensionalp-lap lacian[J].Proceedingsof theAm ericanM athem aticalSociety,1997,125(8):2275-2283.

[4]Am ann H.Fixed po intequations and nonlinear eigenvalue p roblem s in o rdered Banach spaces[J].SIAM Rev,1976,18(4):620-709.

The Ex istence of Positive Solu tion s for Second O rder Singu lar Boundary Va lue Prob lem s

L IHong-m ei
(Schoo lofM athem atics and System s Science,Taishan University,Tai’an,271021,China)

Thispaper discussed the existence ofpositive so lutions for singu larboundary value p rob lem sof the form u"+f(t,u)=c,αu(0)-βu’(0)=0,γu(1)+δu’(1)=0.Them u ltip licity of positive so lutions is estab lished by using fixed point theorem in cones.

singu lar boundary value p rob lem;positive so lution;fixed point theo rem

O175.8

A

1672-2590(2010)03-0022-04

2010-03-25

李洪梅(1982-),女,山东泰安人,泰山学院数学与系统科学学院助教.