一维反铁磁海森堡系统的磁化强度

李素艳,李咏梅

(1.泰山学院物理与电子工程学院,山东泰安 271021;2.济宁学院物理与信息工程系,山东曲阜 273155)

一维反铁磁海森堡系统的磁化强度

李素艳1,李咏梅2

(1.泰山学院物理与电子工程学院,山东泰安 271021;2.济宁学院物理与信息工程系,山东曲阜 273155)

利用数值密度矩阵重正化群方法研究了一维反铁磁海森堡系统的磁化曲线,分析了不同阻挫时的磁化特性,着重描述了磁化曲线中出现的中场尖奇点,并分析其产生机理.

密度矩阵重正化群;海森堡系统;磁化曲线;中场尖奇点

0 引言

传统数值重正化群(RG)方法是由W ilson在求解近藤(Kondo)问题时提出的[1],它克服了完全对角化方法的局限性,但由于假定只有最低“块”本征态与最终(无限)系统的基态有关,故对边界条件处理不理想.W hite进而提出了密度矩阵重正化群(DMRG)方法[2-3],该方法是用密度矩阵的本征态代替以往直接使用“小块”哈密顿量的本征态作为保留态.对一维和准一维问题,这种方法得到的结果相当准确.同时,相对于严格对角化方法,可以完成大尺寸系统的计算.鉴于以上优点,密度矩阵重正化群方法现已被证明是研究一维和准一维量子系统的有力工具.

1 密度矩阵重正化群算法

密度矩阵重正化群算法如下[4]:

(1)构造4个初始“块”,第一(左边)“块”包含一个或多个格点,第二、第三“块”由单个格点组成,第四(右边)“块”是第一“块”的空间反射.

(2)构造超级“块”的哈密顿矩阵Hsuper.

(3)通过稀疏矩阵对角化方法如Davidson[5]或Lanczos算法[6](本文应用Lanczos算法)对角化Hsuper得到靶态ψ即超级“块”的基态.

(5)对角化ρ得到所有本征矢vα及本征值aα,保留m个最大的本征值及相应的本征矢,其余舍去.

(6)对两“块”系统的活跃(位于端点处的)自旋算符构造矩阵表象.

(7)利用方程H1’=OH12OT将基变为vα,产生新“块”1.同样变换步骤6中的算符.

(8)用新“块”1代替旧“块”1,新“块”1的反射代替旧“块”4.

(9)回到步骤2,重复以上步骤直到收敛.

密度矩阵重正化群方法结构见图1,在每一次迭代中,超级“块”增加两个格点,而基态数不变.计算出的性质收敛到其热力学极限值.

图1 密度矩阵重正化群方法结构示意图

以上算法的关键步骤在于超级“块”哈密顿量的存储及对角化.显然,矩阵Hsuper由(4m2)2个元素构成.幸而大部分矩阵元为零,仅需存储不为零的矩阵元.另外,“块”对角化的矩阵可以一“块”一“块”地对角化,从而比一次对角化整个矩阵节省CPU.本文中计算磁化曲线,我们仅计算对应于某特定磁化强度的最低的能量,这样每次只需考虑对应于该磁化强度的矩阵元.

以上算法为无限大小算法,超级“块”随每一次迭代而增加,故一般用以计算热力学极限时的量.该算法可被扩展提高其精确度以计算固定长度L的有限系统.首先我们应用无限大小算法直到超级“块”达到所需长度L.在之后的迭代中由两个长度不同的次级“块”生成一个具有固定长度的超级“块”.如果左边“块”代表一个L’格点的系统(这里我们选L’=L/2),加上两个格点,再与一个L-L’-2格点“块”(无限大小方法得到的L-L’-2格点“块”的反射)连接就构成一个超级“块”.该L-L’-2格点系统的哈密顿矩阵及每个必须的算符都来自于前一迭代.每一步中,我们构造L格点超级“块”,而次级“块”的大小从长度Lmin变到L-Lmin-2.该过程经过迭代,左边次级“块”增大,右边次级“块”取自前面的迭代.

密度矩阵重正化群方法的总体误差取决于每次迭代保留的态数及系统大小.另外还取决于研究的模型,特别是相互作用范围及边界条件.当重正化“块”与超级“块”其余部分间的连接最小化时,精确度最高.在无限大小算法中,该误差源于超级“块”的其余部分,即反射“块”被假定代表无限链的其余部分.自由边界条件时得到的结果优于周期性边界条件的结果,原因在于周期性边界条件时“块”与反射“块”间有两个连接,而自由边界条件时只有一个连接.

无限大小方法中,在迭代的固定点,“块”B代表无限链的一半.通常从中得到的有限链结果是有用的,但这样得到的结果不是十分准确.原因在于最初所用密度矩阵是从非常小的晶格中得到的.另外,有限大小方法适用于有限系统.通过有限大小方法,初始误差被随后的扫描减小.

2 磁化曲线

图3 E-H曲线

易发现E(M)-E(M∓1)=±H.

故对给定的M,我们有H=E(M)-E(M-1),或H=E(M+1)-E(M).

对每个磁化强度M,存在着相应的外场,连接这些点可得到M-H曲线.计算对磁化强度为M的L格点系统的最低能量E(M),继而通过确定E(M)与E(M±1)的水平交点即可得到磁化曲线.

3 结果与分析

AF自旋链的磁化过程表现出各种类相变特性:伴随着间隙激发(激发间隙∝Hc)或饱和磁化(在饱和场Hs)的临界现象以及相变.在M-H曲线上还存在着中场尖奇点.尖奇点出现于中场区H=Hcusp处,其中Hc

图4 20格点AF链M-H曲线

在图4中,我们得出一个20格点AF自旋链的M-H曲线,其中α分别为0,0.25,0.35.从图中我们可以清楚地看见M-H曲线在三个不同阻挫的大体轮廓.可以观察到α=0的平方根特性,以及α= 0.25的四次方根特性.对α=0.35,可以看到在H接近于2.0处有一个尖.

在αc≈0.241167的地方有相变产生.当α<αc时,基态是无间隙的自旋流体相.当α>αc时,基态变成具有一定间隙的d im er相.自旋流体相和dim er相在长程有序上的区别对M(α,H)磁化曲线有明显影响.

由上图及其他参考文献中可知α=0.1,0.2及0.25在中场区域没有反常结构.α=0.35,0.4及0.5的M-H曲线在H接近于饱和场的地方有中场尖奇点.Okunishi证明对α=0.6,零温M-H曲线有两个中场尖奇点.另外,我们发现尽管阻挫不同,饱和场却彼此接近.原因在于一个具有一维AF竞争性近邻及次近邻系统相互作用系统的饱和场主要由最近邻决定.Tonegw a与Harada计算了具有反铁磁近邻及次近邻相互作用的一维各向同性自旋1/2海森堡AF的饱和场.根据他们的结果,次近邻相互作用对饱和场的修正非常小,即便是在象R iera和Dobry的计算中,次近邻相互作用相当大时也是如此.然而,对一个具有近邻和次近邻相互作用的自旋-佩尔斯系统,如果没有令人满意的磁化曲线理论,仅靠当前的实验数据很难对次近邻相互作用做定量的估计.

我们还发现对小的阻挫,在对小外场M和H之间存在线性关系.对α≥0.5,不消失的磁化强度要求外场超过临界值HC(α).

已经证实Z字形链当改变α时具有有趣的M-H曲线.这是什么导致的呢?Okunishi认为这个问题可以当作一个无自旋费米气体来处理,其中费米子相当于铁磁背景下翻转的自旋.

接近于Hs处,α≤0.25的系统是费米液体.因此对α>0.25,我们预期系统将继续表现为费米液体.定性地分析,费米液体特征也能成功地解释M-H曲线,尤其是中场尖奇点的出现.定量地讨论,却出现了与α≤0.25时重要的不同.该系统成为两种成分的液体,每部分由极小值周围的模组成.这样一个相关多组分系统可能表现为非费米液体,或Tomonaga-Lu ttinger(TL)液体,它的典型例子是Hubbard链.

4 小结

以上我们研究了一维反铁磁系统的零温磁化过程(M-H曲线).该磁化过程展示出各种相变特性.接近饱和场,对α>0.25存在中场尖奇点,可观察到相关的双组分TL液体特性,该处元激发色散曲线是双阱曲线.在α=0.25,M-H曲线表现为△M～(H-Hs)1/4与α<0.25时的平方根行为不同.存在中场尖奇点的本质机制在于低激发态能量的多极小值结构.

[1]W ilson K G.The renorm alization group:Criticalphenom ena and the Kondo p roblem[J].RevMod Phys,1975,47:773-840.

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[3]W h ite SR.Densitym atrix formulation for quantum renorm alization groups[J].PhysRev Lett,1992,69:2863-2866.

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[5]Davidson E R.The iterative calculation of a few of the lowesteigenvaluesand corresponding eigenvectorsof large real-symm etricm atrices[J].JCompu t Phys,1975,17:87-94.

[6]Cullum JK,W illoughby R A.Lanczos algorithm s for large symm etric eigenvalue computations(I)[M].Boston-Basel-Stuttgart: B irkhauser,1985.

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[9]W h ite SR,A ffleck I.D imerization and incomm ensurate sp iral sp in correlations in the zigzag sp in chain:Analogies to the Kondo lattice [J].PhysRev B,1996,54:9862-9869.

[10]Park inson JB.The S=1 quantum sp in chainw ith equalHeisenberg and biquadratic exchange in amagnetic[J].JPhysCondensM att, 1989,(1):6709-6715.

M agnetization of 1-d AF Heisenberg System

L ISu-yan1,L IYong-m ei2
(1.Schoo lof Physicsand E lectronic Engineering,Taishan University,Tai’an,271021;
2.Departm entof Physicsand Info rm ation Engineering,Jining University,Qufu,273155,China)

Them agnetization of1-d AFHeisenberg system was studied using the num ericalDensityM atrix Reno rm alization Group(DMRG)technique.Them agnetization curves at d ifferent frustration were analyzed.In particu lar,them idd le field cusp singu larity appears in them agnetization curveswas described.

Density M atrix Reno rm alization Group;Heisenberg system;m agnetization curve;m idd le field cusp singu larity

O482.5

A

1672-2590(2010)03-0060-05

2010-04-07

李素艳(1974-),女,山东泰安人,泰山学院物理与电子工程学院讲师.