浅论距离空间的距离函数与诱导距离函数的关系

陈淼超

（1东南大学数学系，江苏南京211189）

（2巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）

浅论距离空间的距离函数与诱导距离函数的关系

陈淼超1，2

（1东南大学数学系，江苏南京211189）

（2巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）

本文主要研究的是距离空间的距离函数何有到距离函数的关系，文中给出了分割，分割的加密，可求长曲线以及曲线长度的定义及其相关性质，并对这些性质予以了证明。仿照黎曼几何的做法，通过距离空间的距离函数给出了距离空间的诱导距离函数的概念，并证明了在距离空间中，两点间的诱导距离不小于这两点的距离。

距离空间；加密；距离函数；诱导距离函数

1 引言

距离空间是欧几里得空间的推广，被称为最基本最重要的抽象空间。距离空间的概念起源于德国数学家G.康托尔创立的集合论，由法国数学家弗雷歇尔于1906年首先给出定义的。1914年豪斯多夫在距离空间的理论方面增添了许多成果，特别是证明了每一个距离空间能够并且只能够按一种方式扩展成一个完全的距离空间。1925年，原苏联数学家乌雷松在他去世后发表的论文中证明了每一个可分离的距离空间同胚于希尔伯特放团体的一个子集等重要结果，此后距离空间理论随着拓扑学的发展而相继前进，其中，拓扑空间的距离化问题是一个比较重要的问题，20世纪50年代日本，原苏联，美国数学家获得一系列重要结果，得到拓扑空间可距离化的充要条件。

2 具体模型

在二维欧式空间中，根据两点间距离公式以及平面曲线弧长公式，我们就可以对一些曲线求出长度。在黎曼几何中，考虑平面上给定了一个区域Ω，若给了一个度量函数ρ，就可以定义关于区域Ω中的点，在度量ρ下的距离函数dρ。仿照黎曼几何的做法，设X为一个距离空间，ρ为X的一个距离函数，∀P，Q∈X，令ΓX（P，Q）为X中中连接P与Q的所有可求长连续曲线的集合，这里γ（α）=P， γ（β）＝Q，我们定义P与Q的诱导距离函为：dρ（P，Q）＝inf这样，我们就给出了一个新的距离函数dρ（P，Q），我们称它为诱导距离函数。

定义1设分割T∶α=t0＜t1＜…＜tn=β，T*∶α=s0＜s1＜…＜sm=β.令A（T）＝{ti}，A（T*）＝{sj}，若A（T）⊂A（T*），则称T*为T的加密。

定理1已知在距离空间（X，d）中，γ（t）∶[α，β]→X。为[α，β]到X的连续映射，也就是说γ（t）表示一条连续曲线。我们对[α，β]做分割T，设LT为分割T，下的近似长度，再将T加密得到新的分割T*，设为曲线在T*分割下的近似长度。

证明：设分割T∶α=t0＜t1＜…＜tn=β，分割后，对应曲线上的点Pi=r（ti），P0，P1，…Pn∈X，那么就得到.因此，如果将原分割加密一个点s得到一个新的分割T1∶α=t0＜t1＜…＜tj＜s＜tj+1＜…＜tn-1＜tn=β，其中s对应曲线上的点为Q，则

定理2设（X，ρ）为一个距离空间，γ（t）∶[α，β]→X.为一连续曲线，LT为曲线在分割T下的近似曲线长度，则γ为可求长曲线，并且lρ（γ）=l的充要条件为：l＜+∞.

证明：ⅰ）设lρ（γ）=l证明：

由曲线长度的定义知，∀ε＞0，∃δ＞0，∀T*，λT*＜δ有l-ε＜LT*＜l＋ε，由此可得

另一方面，由定理1，∀T，可做T*，为T的加密且使λT*＜δ.

所以LT≤LT*≤l＋ε，由此可得

∀ε＞0。由上确界的定义知，∃T*，使得

设T*∶α=s0＜s1＜…＜sm=β，令

又因γ连续，对于T的分点sk.以及∃δk＞0，对∀t∈（sk－δk，sk＋δk）.

对T∶α=t0＜t1＜…＜tn=β，令λT=当λ＜δ时，

记T**={s0，s1，…，sm}∪{t0，t1，…，tm}，trk-1≤sk≤trk，k=1，2，…，m.

T**是T的加密，同时也是T*的加密。则由定理1有：

在黎曼几何中诱导距离函数的定义：设Ω⊆C为一个区域，ρ为Ω上的一个度量，∀P，Q，ΓX（P，Q）为Ω中连接P与Q的所有逐段光滑曲线的集合，这里γ（0）＝P，γ（1）＝Q我们定义P与Q在度量ρ下的距离为：dρ（P，Q）=inf{ lρ（γ）∶γ∈ΓD（P，Q）}.在这里我们作假定，任意两点间都可以用可求长的线连接。仿照黎曼几何来定义距离空间中的诱导距离函数。

定义2诱导距离函数

设X为一个距离空间，ρ为X的一个距离函数，∀P，Q∈X，令ΓX（P，Q）为X中中连接P与Q的所有可求长连续曲线的集合，这里γ（α）=P，γ（β）=Q，我们定义P与Q的诱导距离函为：dρ（P，Q）=inf {lρ（γ）∶γ∈ΓX（P，Q）}.这样，我们就给出了一个新的距离函数dρ（P，Q），我们称它为诱导距离函数。

定理3（X，dρ）是距离空间。

证明：①dρ（P，Q）=inf{ lρ（γ）}，设LT为lρ（γ）在分割T下的近似曲线长度，则有：

综上所述，在当前新教育背景下，如果想要做好班主任的教育及管理工作，仅仅依靠上述内容还不够。班主任还应当认清教育形式，充分了解班级学生的思想及心理，提高人格素质修养，为学生充分做好表率作用。班主任应当明确，身为一名教育工作者，不仅需要传授学生们理论知识内容，还应当教会学生们如何树立起正确的人生价值观。唯有如此，班主任才能真正提高自己的管理水平及教育能力，从而更好地为班级学生开展教育管理工作，从而促使学生们真正做到全面健康的发展。

②由lρ（γ）＝sup{LT}＝sup

可知dρ（P，Q）＝dρ（Q，P）.

③由dρ（P，Q）=inf{ lρ（γ}），知：∀ε＞0，∃γ*使lρ（γ*）＜dρ（P，Q）+ε，

则对∀P，Q，R∈X，有dρ（P，Q）≤lρ（γ1，γ2）=lρ（γ1）＋lρ（γ2）≤dρ（P，R）+dρ（R，Q）=2ε.

由ε的任意性知：dρ（P，Q）≤dρ（P，R）+≤dρ（R，Q）

由①②③知（X，dρ）是距离空间。

定理4设（X，ρ）为距离空间，dρ为X上的诱导距离函数，对∀P，Q∈X，则在距离空间（X，ρ）中，有：dρ（P，Q）≥ρ（P，Q）.

证明：在X中任给一条连接P，Q的可求长的连续曲线γ.

所以lρ（γ*）=sup{LT}≥Lρ（pi，pi+1），

又因为dρ（P，Q）=inf{ lρ（γ}），所以对∀ε＞0，∃γ*，使lρ（γ*）

所以dρ（P，Q）＋ε＞ρ（P，Q）.

由ε的任意性知：dρ（P，Q）＞ρ（P，Q）.证毕。

[1]刘炳初.泛函分析[M].北京：科学出版社，1998.

[2]陈景良.近代分析数学概要[M].北京：清华大学出版社，1987.

[3][美]陈熙驹，斯廷路德.拓扑学的首要概念[M].将守方，江泽涵译.上海：上海科学技术出版社，1984.

[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.

[5]焦宝聪，王安，王燕生.复变函数[M].北京：科学出版社，2000.

Abstract:This paper mainly studies the relation of metric function and reduced metric functionin in metric space.This paper defines the concept and characteristic of partition,densification partition,rectifiable curve and curve length.Ulteriorly,the paper proves these characteristic.Imitating Riemannian geometry,the paper defines reduced metric in metric space via metric function in metric space.Finally,the paper prove reduced distance is not less than distance between two points in metric space.

Key words:metric；space densification；metric function；reduced metric function

责任编辑：宏彬

SHALLOWLY DISCUSSION ON THE RELATION OF METRIC FUNCTION AND REDUCED METRIC FUNCTION IN METRIC SPACE

CHEN Miao-chao1,2
（1 Department of mathematics,Southeast University,Nanjing Jiangsu 211189）
（2 Department of Mathematics,Chaohu University,Chaohu Anhui 238000）

O177

A

1672－2868（2010）03－0028－03

2010-03-05

陈淼超（1981-），男，湖北黄梅人。东南大学数学系在读硕士，研究方向：微分方程。