引力场中的高斯定理在计算煤矸石重量方面的应用

李颢

（山西大同大学工学院，山西大同 037003）

引力场中的高斯定理在计算煤矸石重量方面的应用

李颢

（山西大同大学工学院，山西大同 037003）

文章根据引力场与静电场的相似性，提出了计算地球内质点所受引力的新方法，即引力场中的高斯定理.并利用此法计算了井下煤矸石的万有引力.

引力场 高斯定理 重量

煤矿工人采煤时，常常需要搬动由顶板掉落下来煤矸石.许多矿工说：煤矸石在井下似乎比在地面上重.有人用万有引力定律作这样的解释：井下煤矸石离地心近，所以引力就大；在地面，煤矸石离地心远，所以引力就小.这种解释是不妥的.

万有引力定律，只有当两物体的大小比它们之间的距离小得很多时，方能成立.换言之，万有引力定律只适用于质点.星体虽然很大，但满足上述条件，故能直接应用.地球表面和矿井里的石块不满足上述条件，故一般不能直接应用.

为了计算矿井里的煤矸石究竟多重，严格来说，应该把地球和煤矸石划分成许多小质元，把每个小质元当成质点，然后应用万有引力公式，求地球上第i个小质元与煤矸石上第j个小质元之间的引力

而这两个物体间的引力就是这些引力的矢量和

即使把煤矸石当成质点，地球看成均质球体，上式可简化为：

这一计算仍然十分冗长和繁难.本文从引力场与静电场的相似性出发，对如何计算矿井里的煤矸石重量提出一种新方法——引力场中的高斯定理.

1 引力场中的高斯定理

为了确定电场的强弱和方向，我们引入了电场强度的概念：在电场中某点处单位试验电荷所受的电场力，即

在确定引力场中各点的强度时若把质量为m的质点放在引力场中某一点时，它受到的引力为Fg，则Fg／m就表示单位质量的质点在该点所受到的引力[1]，它是一个与物体质量无关的物理量，叫做该点的引力场强度，用g来表示，即

引力场强度也是矢量，它的方向与引力Fg的方向相同.由引力场强度的定义式可得地球表面附近的引力场强度为

我们可以在引力场中定义出一系列与静电场一一对应的物理量，如引力线、引力场强度、引力场强度通量等，并仿照静电场中的高斯定理

推出引力场中的高斯定理

其中，g为引力场强度，G为引力常量，ρ为地球密度，d s为高斯面的面积元矢量，d V为地球的体积元.

上式的意义是：通过任一闭合曲面的引力场强度通量，等于该曲面所包围的所有质元质量的代数和乘以4πG，这就是引力场中的高斯定理.

2 应用引力场中的高斯定理计算矿井中煤矸石的重量

设地球半径为R，质量为M，井下煤矸石距地心距离为r，且地球质量分布均匀.由地球的对称性可知，距地心距离为r的球面处场强大小处处相等.故以地心为球心，r为半径作一球面，即高斯面.

根据高斯定理有

设煤矸石质量为m（视作质点），则煤矸石所受地球的万有引力为

即煤矸石在矿井中所受的重力大小.

3 结论

由引力场的高斯定理可得：

（1）地球里的质点所受地球的引力，平方反比关系不成立，而是与质点离地心的距离成正比，即

这种力也属于保守力.并且可以推知，当r＝0时，即地心处的质点所受地球的万有引力的合力为零（或不受力）.

（2）在地球表面附近，r＝R时，有

即我们所熟知的万有引力公式.

（3）在地面以上h的高空，我们做半径r＝R＋h的高斯面，根据引力场的高斯定理可得引力场强度为

即质量为m的质点在此处受到的引力为

煤矸石在地面所受重力大小为

在井下所受重力大小为

由于r＜R，故煤矸石在地面要比在井下重.矿工觉得它在井下重，是因为r≈R，井上井下重量近乎相等.设矿井深200m，则地面的重量是井下重量的1.000 03倍，这样小的误差，一般是测不出来的.但矿工在井下劳动比较疲劳，且劳动场所狭窄，故产生此种错觉.

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Gauss Theorem in the Gravitational Field to Calculate the CoalGangue＇sGravitation in the Coal Pits

LIHao
（School of Engineering，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037003）

Accoding to the similarities of gravitational field and electric field，illustrated by calculating the coal gangue's gravitation in the coal pits，Gauss theorem in the gravitational field is presented to calculate themass points'sweight in the Earth.

gravitational field；Gauss theorem；weight

O441.5

A

〔编辑石白云〕

1674－0874（2010）01－0079－02

2009－12－10

李颢（1963－），女，山东临沂人，助理实验师，研究方向：物理实验.