变系数模型误差方差的估计

冯井艳，张志强，李华鹏

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

变系数模型误差方差的估计

冯井艳，张志强，李华鹏

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

变系数模型是由古典的线性模型发展而来，它们可以很好地检验函数系数随着协变量的变化程度.本文用PLR提出了变系数模型的误差方差的估计，并研究了它的渐近正态性，进一步用一个模拟例子来说明估计的结果是有效的.

变系数模型 误差方差 Profile最小二乘估计 渐近正态性

变系数模型产生于实际需要，它可以很好地探索动态数据特征使得模型更好地拟合数据，因此广泛应用到各科学领域中，比如：经济学，政治学，医药学，生态学等.

Hastie和Tibshirani[1]提出了变系数模型，其定义如下

到目前为止，对于具有不同光滑变量的变系数模型的研究还是比较少[4]，其定义如下

其中，X＝（X1，X2，…，XP）T∈RP，Z＝（Z1，Z2，…，ZP）T∈RP为协变量，Y∈R为响应变量，ε为随机误差，且ε与（X，Z）独立，满足E（ε）＝0，Va（rε）＝σ2.{aα(·)}pα＝1是从R到R上的未知可测函数.文献[4]已经估计了函数系数{aα(·)}pα＝1，类似的讨论还有文献[5].但是，有时候，对误差方差σ2＝E（ε2）的估计的研究也是很有必要的，它可以有利于置信区间的建立，模型检验及选择等.在本文中，由最小二乘法得到了误差方差σ2的估计，并得到了它的渐近性质.

1 估计

假定{Yi，Xi，Zi，i＝1，…，n}是模型(2)的一个简单随机样本，{aα(·)}pα＝1是Lipschitz连续的，那么a（αXα）在Xα的支撑内的一点xα附近能够用一个线性函数表示，即

关于{aα}pα＝1和{bα}pα＝1极小化，其中，Xiα，Ziα分别是X，Z的第i个观测值的第α个分量；Kα，hα(·)=h-1αKα(·/ hα)，Kα(·)是一个有紧支撑的关于0对称的有界非负的Lipschitz连续的概率密度函数；hα＝hnα是一个正数数列，称作窗宽.设（αx），α＝1，…，p，是使(3)式达到极小化的前p个值.由最小二乘理论，可得

其中x＝（x1，…，xp）T，eα，2p是第α个分量为1的单位向量，U是一个n×2p矩阵，它的i行是

在(4)式的基础上，使用平均方法定义函数系数aα（Xα）的平均估计为

其中，a＝（a1（X1），…，ap（Xp））T.我们可以定义误差方差σ2的估计为

2 误差方差的渐近性质

假设：A1随机变量X是有紧支撑的，它的密度函数f(·)是Lipschitz连续有界的，且大于某一正数.

A3存在s，k分别有s＞2满足E‖z‖2s＜∞，k＜2-s-1满足n2k-1h→∞.

A4{aα(·)，α＝1，…，p}有二阶导数.

A5核函数K(·)是有紧支撑的，关于0对称的，有界非负的Lipschitz连续的概率密度函数；窗宽h满足nh8→0，nh2（／log n）2→0.

定理1若假设 A1～A5成立，如果Eε41＜∞，E‖X1‖4＜∞，当n→∞时，则有

定理2若假设 A1～A5成立，如果Eε41＜∞，当n→∞时，则

推论1在定理1和定理2的条件下有

3 模拟

这一节我们应用Monte Carlo模拟方法来说明如上提出的估计方法的有效性.假定模拟例子为：

4 证明过程

它的证明类似于Zhou和You[6]的定理3.2的证明.则有I3＝οp(1).定理1证毕.

表1 2的均值和标准误差

表1 2的均值和标准误差

■ σ）σ2 0.04 0.25 0.64 0.04 0.25 0.64 Mean 0.057 0.072 0.533 0.073 0.836 0.065 SD 0.009 0.038 0.085 0.006 0.029 0.075 ε～N（0，σ2） ε～U（－ 3■ σ， 3

则，J3＝οp(1)，J4＝οp(1)，J5＝οp(1).则只需证明 J2＝οp(1)，它的证明类似于I2＝οp(1)的证明，则定理2证毕.

[1]Hastie T，TibshiraniR.Varying-coefficientmodels[J].Royal Statistical Society，2003，55(4)：757－796.

[2]Hoover D R，Rice JA，Wu C O，et al.Nonparametric smoothing estimates of time-varying coefficientmodels with longitudinal data[J].Biometrika，1997，85：809－822.

[3]Fan J，Zhang J.Functional linearmodels for longitudinal data[J].JRoy Statist Soc B，2000，62：303－322.

[4]Zhang Riquan，Li Guoying.Efficient estimation of functional-coefficient regression models with different smoothing variables[J].Acta Mathematica Scientia，2008，28B(1)：989－997.

[5]张日权，张志强，冯井艳.一类新的变系数模型的积分估计[J].山西大同大学学报：自然科学版，2007，23(5)：1－5.

[6]Zhou X，You J.Waveletestimation in varying coefficientpartially linear regressionmodels[J].Statist probab Lett，2004，68：91－104.

Error V ariance E stimation of V arying C oefficient M odels

FENG Jing-yan，ZHANG Zhi-qiang，LIHua-peng
(School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009)

Varying coefficientmodels are a useful extension of classical linear models.These models can easily examine how regression coefficient change over different groups characterized by certain covariates.In this article，the estimator of error variance by profile least-squares procedure is proposed and its asymptotic normality is studied.Furthermore，some simulations are conducted to examine the performance of our estimating approach and the results are substantial.

varying coefficientmodels；error variance；profile least-squares estimation；asymptotic normality

O212.7

A

〔编辑 高海〕

1674-0874(2010)01-0005-03

2009-11-30

国家自然科学基金项目[10871072]；山西省自然科学基金项目[2007011014]

冯井艳(1982-)，女，山西太原人，硕士，助教，研究方向：数理统计.