和图形变换有关的探究题

●劳海峰 (平水镇中学 浙江绍兴 312050)

综观近几年的中考试题，笔者发现出现了一些培养学生探索精神、创新能力的探究题.其中操作型探究题主要以几何图形为背景，经轴对称、平移、旋转、相似变换构造新图形，从形状和位置变化中去探求全等、相似、函数、方程等知识间的内在联系.通过观察图形在变化过程中所隐含的规律，猜想结论、证明等，是解决此类问题的基本策略.下面通过具体分析，说明此类问题的解题策略.

1 轴对称有关的操作型探究题

解决这类问题的方法是先一般再特殊，即先找到一般性的规律然后退至特殊情形找到定值.

例1 阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8 cm，AB=6 cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从点A出发，沿着与边AB成45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边成45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点P碰到边BC，沿着与边BC成45°的方向作直线运动，当点P碰到边CD，再沿着与边CD成45°的方向作直线运动，……，如图1所示.问点P第1次与点D重合前与边相碰几次，点P第1次与点D重合时所经过的路线的总长是多少?小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形 A1B1CD.由轴对称的知识，可得P2P3=P2E，P1A=P1E.

请你参考小贝的思路解决下列问题：

图1

图2

(1)点P第1次与点D 重合前与边相碰_______次;点P从点A出发到第1次与点D重合时所经过的路径的总长是_______cm.

(2)近一步探究：改变矩形ABCD中AD，AB的长，且满足AD＞AB，动点P从点A出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续2次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的2条边上.若点P第1次与点B重合前与边相碰7次，则AB ∶AD的值为_______.

图3

点评本题是一道操作性探究题，主要根据轴对称知识进行探究.第(1)小题的解法可根据阅读材料中小贝的思考：“将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形 A1B1CD，由轴对称的知识，可知P2P3=P2E，P1A=P1E”.思路延续得出矩形A2B2C1D1、矩形 A3B3C2D2……，然后画出路径.总路程是线段P1A=P1E=…=6的n倍.第(2)小题与第(1)小题有着密切的关系，矩形全等可得长和宽都相等.由解题思路示意图，可知AB长的5倍等于CD长的4倍，即AB ∶AD的值为4∶5.

2 与平移有关的操作型探究题

解决这类问题的方法是由特殊值到一般规律，以静制动.将平移后所得点的坐标根据横、纵坐标的几何意义把它表示出来，得到一个用变量表示的定值，以不变应万变.

图4

图5

例2 探究 (1)如图4，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F.

①若 A(-1，0)，B(3，0)，则点 E 的坐标为_______;

②若 C(-2，2)，D(-2，-1)，则点 F 的坐标为_______.

(2)如图5，已知线段AB的端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，求出图中 AB中点 D的坐标(用含 a，b，c，d的代数式表示)，并给出求解过程.

归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为 A(a，b)，B(c，d)，AB 中点为 D(x，y)时，x= ______，y = ______(不必证明).

①求出交点A，B的坐标;

②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标.

图6

图7

(2)如图7，过点A，D，B分别作 x轴的垂线，垂足分别为 A'，D'，B'，则

因为D为AB的中点，由平行线分线段成比例定理得

运用 ①由题意得

图8

解得 x=3，y=1 或 x=-1，y=-3，

即交点的坐标为 A(-1，-3)，B(3，1).

②如图8，当AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1).由平行四边形对角线互相平分，知OM=OP，即M为OP的中点，从而点P坐标为(2，-2).同理可得分别以OA或OB为边时，点 P 的坐标分别为(4，4)，(-4，-4).因此满足条件的点P有3个，坐标分别是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4).

3 与旋转有关的操作型探究题

解决与旋转有关的操作型探究题，需认真观察图形不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关角与边.在旋转的过程中，弄清变与不变的量;在解决这类问题时，通常将其转换成全等形求解.根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.

图9

图10

图11

图12

例3 课题 2个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题.

实验与论证 设旋转角∠A1A0B1=α(α＜∠A1AOA2)，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图9 ～12 所示.

(1)用含 α的式子表示角的度数：θ3=________，θ4= ______，θ5= ______.

(2)如图9～12，连结A0H，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在，请选择其中一个图给出证明;若不存在，请说明理由.

(3)设 θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数.

(4)试猜想在正n边形的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在，请说明理由.

解(1)60°-α，α，36°-α.

(2)存在.下面选图9进行证明.

如图13，直线A0H垂直平分A2B1.证明如下：

证明由△A0A1A2≌△A0B1B2，得

又由∠A0A2H=∠A0B1H=60°，得

于是点 H在线段 A2B1的垂直平分线上.又由A0A2=A0B1，得点A0在线段 A2B1的垂直平分线上，从而直线A0H垂直平分A2B1.

点评在第(1)，(2)小题中，笔者利用了旋转后形状不变、对应角线段相等求解;第(3)，(4)小题与前2个小题有密切关系，用到了正多边形的外接圆知识、“在同圆或等圆中，如果2个圆心角、2条弧、2条弦、2个弦心距中有1个量相等，那么它们所对应的其余各个量都相等”和分类讨论思想.本题利用旋转的图形不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让学生体验图形旋转变换的性质，同时也考查了空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力.

图13

4 与相似有关的操作型探究题

解决与相似有关的探究题，关键要抓住哪些是平行线段、哪些是相似三角形、哪些线段可以得出相似比等.

例4 问题背景(1)如图 14，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点 D，E，过点 E作EF∥AB交 BC于点 F.请按图示数据填空：

图14

四边形DBFE的面积S= _______，△EFC的面积 S1=________，△ADE 的面积为_______.

探究发现 (2)在第(1)小题中，若 BF=a，FC=b，DE 与 BC 的距离为 h，证明：S2=4S1S2.

拓展迁移 (3)如图15，▱DEFG的4个顶点在△ABC的3条边上，若△ADG，△DBE，△GFC的面积分别为2，5，3，试利用第(2)小题中的结论求△ABC的面积.

(1)解 S=6，S1=9，S2=1.

(2)证明 由 DE∥BC，EF∥AB，知四边形DBFE为平行四边形，因此

图15

图16

(3)解 如图16，过点G作GH∥AB交BC于点H，则四边形DBHG为平行四边形，从而由四边形DEFG为平行四边形，得

点评第(1)，(2)小题主要考查了相似三角形的面积之比等于相似比的平方;利用相似证明，可先找2对内角对应相等(对平行线型找平行线)，得△ADE∽△EFC;或先找一对内角对应相等，且看夹角是否对应成比例;若无对应角相等，则只需考虑3组对边是否成比例.第(3)小题是利用了“探究 S2=4S1S2”、S△ABC=S△ADG+S△DBE+S▱DEFG+S△GFC=S△ADG+S▱DBHG+S△GHC求解.

综上所述，探究性的数学问题具有不定向的解题思路，往往遵循从“合情推理”到“逻辑推理”的过程.而规律探究型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性.