数学运用于经济学:一个历史性综述

李逸群

(郑州大学 数学系,河南 郑州 450001)

数学运用于经济学:一个历史性综述

李逸群

(郑州大学 数学系,河南 郑州 450001)

尽管长期以来,学界对经济学的科学性质存在争论,但数学方法运用于经济学这一事实反映了经济学的科学性质是无可置疑的。目前主流经济学的研究以采用数学方法为主线,数学已经成为经济学研究的国际通用语言。现代经济学的发展所使用的数学工具几乎涵盖了近代数学的所有领域,包括数理统计学、概率论、随机过程、博弈论、排队论、组合数学、常微分方程、偏微分方程、差分方程、线性规划、最优规划、整数规划、投入产出、控制论、不动点理论、集合论、拓扑学、泛涵分析、映射、微分几何、群论、代数学等等,反映了数学越来越渗透到经济学研究中并且发挥越来越重要的作用。

数学;经济学;方法论

一、数学的基础性与工具性

数学(mathematics)这一词在西方源自于古希腊语“máthēma”,其有学习、学问、科学之意,较狭隘且技术性的意义上还指“数学研究”。英语中的mathmatics可溯至拉丁文的中性复数mathematica,由公元前古罗马的马库斯·图留斯·西塞罗(Marcus Tullius Cicero)译自希腊文复数“ta mathēmatiká”,此希腊语又被亚里士多德(Aristotle)拿来指“万物皆数”的概念。拉丁文中的“Mathemetica”原意是数和数数的技术。中国古代将“数学”叫算术,又称算学,最后才改为数学。

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的,简单地说,是研究数和形的科学(Mathematics is the study of quantity,structure,space,and change)。数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画,逐渐抽象概括,形成方法和理论,并进行广泛应用的进程。专门研究数及数量关系的数学,对各门学科的发展都有巨大影响。无论是自然科学,还是社会科学,凡是涉及数、数量关系、数量计算、空间形态等问题的学科无一例外地都以数学方法作为行之有效的研究手段;同时,许多学科也都将数量关系作为必不可少的研究内容。因此,卡尔·海因里希·马克思(Karl HeinrichMarx)指出,“一种科学只在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步。”①弗兰西斯·培根(Francis Bacon)说,数学是思维的体操。怀德海(Whitehead)认为,纯数学这门科学在其现代发展阶段,可以说是人类精神之最具独创性的创造。高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)说,数学,科学的女皇;数论,数学的女皇。数学是科学的基础,能充分应用数学的学科或领域尽管不完全等价于科学,但数学所显示出的人类理性能力、根源和力量在诸多自然科学领域也似乎得到了完美的体现。“给我一个支点和杠杆,我就可以把整个地球撬起。”可见方法是多么的重要。

一个学科具有科学性质的重要特点之一是,“研究的方法要求摆脱价值判断,公正而客观”。数学是科学的基础,它对经济学研究起到基础性作用。经济学的科学性在于它运用与自然科学同样的研究方法,这是一个基础性问题。经济学之所以成为一门科学,其重要特点之一是经济学的研究使用了数学方法。伽利略说,数学是自然的语言。经济行为的基础是人的行为,人也是自然的部分,所以可以说,数学也可成为经济分析的语言。经济学中的数学运用只是一种方法,是将数学作为一种描述语言使用,不一定是具体的数字计算,在这一点上,经济学类似于理论物理。实际上,目前经济学运用数学方法无论在广度还是深度上都超过了一般的工程科学领域,几乎所有的现代数学都在经济学中找到了用武之地,如角谷定理、集值映射的积分定理、近似不动点计算的算法、微分拓扑、公理集合论、非标准分析等,可与理论物理学媲美。

罗森伯格(N.Rosenberg)指出,经济学是一门“处于纯公理系统与应用几何学的交叉点上、类似于数学的一个分支”的科学。美国经济学家格里高利·曼昆(N.Gregory Mankiw)指出:“经济学家努力以科学的态度来探讨他们的主题。他们研究经济的方法与物理学家研究物质和生物学家研究生命的方法一样:他们提出理论、收集资料,并分析这些资料以努力证明或否定他们的理论。”②尽管经济学家“不用试管或望远镜进行研究工作。但是,科学的本质是科学方法——冷静地建立并检验有关世界如何进行的各种理论。这种研究方法适用于研究一国经济,就像适用于研究地心引力或生物进化一样”。③这种科学方法首先在于经济学和其他自然科学一样在研究时可以超脱了价值判断,以客观的态度研究客观现象。当然,科学本质特点是它的实证性,即解释对象“是怎样的”问题;但是科学家也要回答“应该怎样”的规范性问题。规范性判断可以看作是实证分析结论的具体应用。正像莱昂内尔·罗宾斯(Lionel Robbins)一样,反对的只是在方法论上做道德判断,但并不反对经济学家们有各自的道德立场。在激烈的政治斗争中,各方的意见会产生巨大的分歧,像在他之后的弗里德曼一样,罗宾斯强调运用科学的方法来解决事实认识上的分歧,而价值问题,则科学无能为力。从这个角度看,为了在这个充斥着太多可以避免的分歧的世界上我们能取得一些一致意见,值得慎重地将可以解决分歧的研究领域与不可解决分歧的研究领域区分开来——值得将中立的科学领域与争论较多的道德哲学和政治哲学领域区分开来。在十九世纪之前,经济学是以道德科学的面目出现的。十九世纪中期之后,以英国经济学家纳索·威廉·西尼尔(Nassau W illiam Senior,1836)和法国经济学家让·巴蒂斯特·萨伊(Say,Jean Baptiste,1830)为代表,努力使经济学摆脱价值判断,成为一门像自然科学一样的实证科学④。现在实证经济学(Positive Economics)已成为经济学的主流。其次,经济学家在研究经济现象、探讨经济运行规律时,将经济现象作为若干经济变量变动的结果,分析这些变量之间的关系。经济学成功地运用了数学说明它研究方法的科学性。最后,经济学在某种假设之下分析社会现象,得出结论,并用事实来检验结论。这些与自然科学运用的研究方法在本质上是相同的。经济学采用假设手段构造理论,并用简化的模型表达理论。

波普尔(Karl Raimund Popper)的认为,科学的划分标准在于其客观性,而科学的客观性并“不是建立在脱离了科学家个人的价值断定采取超然态度的基础之上的”。由于科学的客观性在于科学方法的客观性,而不是内容的客观性,科学最主要的性质是方法论上的科学性。数学方法运用于经济学是使经济学更加科学的关键。

二、数学方法应用于经济学研究的发展进程

数学在经济学中的运用已有漫长的历史,可以分为三个不同时期:边际革命之前,数学在经济学中的应用处于萌芽时期;边际革命到新古典经济学期间,数学开始显现出在经济学中运用的重要性;新古典经济学之后,数学大量运用于经济学。

(一)经济学的“边际革命”之前:数学方法开始运用于经济学

数学在经济学中的应用最早可追溯到古希腊时期,杰出的历史学家色诺芬(Xenophon)的财富增长思想中就包含了简单的数量关系。他通过数量分析,模糊地意识到商品价格的波动是依供给和需求关系的变化而变化。但比较明确使用数学方法应该追溯到18世纪的威廉·配第(W illiam Petty)的《政治算术》和弗朗斯瓦·魁奈(Francois Quesnay)的《经济表》。数学在当时的经济学当中的使用也与当时的社会背景有着不可分割的联系。17世纪中叶以后,随着产业革命的发展,科学技术也迅速发展起来。勒奈·笛卡尔(Rene Descartes)、艾萨克·牛顿(Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(GottfriedW ilhelm Leibniz)等科学家们的理论在当时备为推崇,他们研究自然科学的方法自然而然地渗入到了社会经济的研究当中。而当时经济学的一些代表人物,如威廉·配第、弗朗斯瓦·魁奈同时也是卓越的自然科学家,因而在他们的经济学的研究当中引入数学方法顺理成章。

古典经济学创立者配第主张用“数字和事实”研究经济问题,是经济学中明确运用数学的开始。配第试图以简单的统计分析为政治经济学提供“精确性”基础。他努力“用数学、重量和尺度的词汇表达自己想说的问题”。魁奈的《经济表》试图通过理性演绎和数学运算去发现人类社会的“自然秩序”。1826年,[德]约翰·海因里希·冯·杜能(Johann Heinrich von.yon Thtinen)发表了《孤立国》(The I-solated State),用抽象法研究经济,将数学方法引入经济研究领域则开创了经济学研究的新道路,首次利用了微积分(特别是考察生产费用和运输费用的变化同经济效益之间的关系时,运用了微分学)和其他一些变数数学公式来表达若干经济范畴和原理,开启了运用数学模型研究问题的先河。杜能认为数学方法有助于准确地认识规律性的东西,如果反对在经济学中应用数学就很难改变这门学科的落后状态。他说:“在非数学不能求得真理的地方,使用数学是允许的。如果人们在其他知识门类像农业和国民经济一样厌恶数学的倾向,那么我们现在仍处于对天文规律完全无知的境地。”(《孤立国》,第459页)。这个时期,经济学家采用数学仅是作为经济理论的补充。

真正系统将数学运用于经济学,并且认为数学将在经济学中占有重要地位的是古诺(Cournot)。1983年,诺贝尔经济学奖得主吉拉德·德布鲁(Gerard Debreu)在他的获奖演讲中说:“如果要对数理经济学的诞生选择一个象征性的日子,我们这一行会以罕见的一致意见选定1838年,……古诺是作为第一个阐明经济现象的数学模型的缔造者而著称于世的”。1838年,古诺发表了《财富理论的数学原理研究》(Researches into the Mathematical Principles of the Theory ofWealth)。⑤该书是第一部广泛将数学函数用于经济关系中,运用微分和积分计算函数关系(Cournotwent on to apply differential and integral calculus in order to analyze the functions and relationships)。⑥在该书中,他率先运用函数形式表达了商品的需求同价格之间及产量同成本之间的依存关系。尽管该书在其生前并未被引起很多注意,但其奠定了接下来30年以后经济学上所谓的“边际革命”(Marginalist Revolution)的基础。古诺被称为“数理经济学的奠基人”。⑦1854年,戈森(Gossen)发表《交换规律的发展和人类行为准则》(The Development of the Laws of Exchange among Men and of the ConsequentRulesof HumanAction),极力主张应用变数数学方法,并将这种方法看作是唯一健全的经济学方法,并且运用数学建立起了“戈森定律”(“Gossen’s FirstLaw”,“Gossen’s Second Law”,and“Third Law”)。戈森的数学非常好,写下了大量的数学符号、公式和图表,并且自比“经济学上的哥白尼”(Gossen himself declared that hiswork was comparable in its significance to the innovations of Copernicus)。

在这一时期,大量将数学运用经济学研究的还有马克思。马克思高度评价魁奈使用数学图式的方法试图说明社会总资本的再生产和流通过程。在《资本论》中,马克思在很多地方采用数学语言表述自己的观点和理论,但主要是采用简单符号、具体数字以及简单的数学运算来说明不同变量之间的关系。在简单再生产和扩大再生产的条件、利润率和剩余价值率的关系、周转对利润率影响等问题的分析方面采用了简单的数学方法。

(二)“边际革命至新古典经济学之前”时期:数学方法广泛运用于经济学

边际革命的三位代表人物威廉·斯坦利·杰文斯(W illiam Stanley Jevons)、里昂·瓦尔拉斯(Leon Walras)和卡尔费希尔(I.Fisher)、克拉克(J.B. Clark)以及庞巴维克(E.von Bohm-Bawerk)·门格尔(CarlMenger)都强调对数学的运用,此后,F.Y ·埃奇沃思(F.Y.Edgeworth)、阿尔弗雷德·马歇尔(AlfredMarshall)、帕累托(Pareto)、克拉克(J.B. Clark)、欧文·费雪(Irving Fisher)以及庞巴维克(E.von Bohm-Bawerk)等采用数学方法研究经济理论有了进一步发展。

杰文斯对经济学展现他特有的开创性作用, 1871年,杰文斯出版《政治经济学理论》(The Principles of Political Economy),边际效用理论是该著作的基调,通过四个命题,强调了数学在经济学中的重要地位:(1)经济学的本性是数学的;(2)变量无法精确测量并不妨碍经济学的数学性;(3)经济学所用方法主要是微积分;(4)数学方法是使经济学进步的必要条件。“经济学如果是一种科学,它必须是一种数学的科学。”因为效用理论,指的是商品的效用的度量是商品数量的连续函数,实际上表达出经济学也是一门数学科学的观点。杰文斯说:“经济学是快乐与痛苦的微积分学……以最小的努力获得最大的满足,以最小厌恶的代价获取最大欲望的快乐,使快乐增至最大,就是经济学的任务。”

法国经济学家里昂·瓦尔拉斯,曾经被约瑟夫·熊彼特(Joseph Alois Schumpeter)认为是“所有经济学家当中最伟大的一位”。他开创了一般均衡理论,是一位数理经济学家,边际革命领导人,洛桑学派(Lausanne school)创始人。瓦尔拉斯的主要贡献被认为是在纯粹理论方面,即建立了他的一般均衡论。这一理论在一定程度上来源于瓦尔拉斯的三种观点:(1)边际效用价值论。边际效用是一般均衡论的价值论的基础。瓦尔拉斯把边际效用称为“稀少性”:商品的稀少性随着它的消费量的增加而递减,并且与购买商品时支付的价格成比例,消费者在进行购买时,力图使他每一元货币所能购买到的每一种商品的效用量相等。这时,他得到最大的效用,即处于均衡状态。(2)在经济研究中数学方法的使用。对瓦尔拉斯而言,数学方法是研究经济理论的唯一合乎逻辑和科学的方法。在他看来,只有使用数学才能对经济理论加以确切的论证和说明。他的主要研究结果一般均衡论,就使用了微积分学和大量的联立方程。也正是这个原因,瓦尔拉斯也被认为是西方经济学数理学派的人物之一。(3)经济变量之间的相互关系和影响。瓦尔拉斯认为,各种商品和劳务市场的供求数量和价格是相互有关的,一种市场上的价格和数量的变化会影响其他市场的供求关系。因此,在考察经济问题时,不能仅仅研究一个市场上的供求情况,还必须同时研究其他一切市场上的供求情况。由于变量之间的相互影响,只有当一切市场都处于均衡状态,个别的市场才能处于均衡状态。研究者不能满足于找出一个市场的数量和价格的均衡量,还必须找出能使一切市场供求相等的全部价格和数量系列。

门格尔对经济学的最大贡献是方法论上的个人主义原则,在边际效用理论中,看重主观评价的作用。其理论要说明人们的主观评价如何使竞争性的市场发现过程运转起来的,将价格看作是由主观估价形成的dependent变量。但门格尔并未否定数学方法在经济学中的运用。1871年,门格尔发表《国民经济学原理》(Principles of Economics),提出了经济学中的“边际分析法”,来以测量消费者欲望的满足程度,衡量物的效用从而决定价值,从而推动着经济学的研究。后来,除了“边际效用”以外,人们又发展出了边际成本、边际收益、边际贡献、边际生产率等一系列概念。因为人们发现,很多经济现象都可能用“边际规律”来解释,也就是用“微积分”的方法来解释。

后来,埃奇沃思是试图对完全竞争下系统而严格定义的第一位经济学家。1881年埃奇沃思出版了《数学心理学》(Mathematical Psychics),⑧试图用抽象的数学来刻画边际效用论。在这部著作中,他提出了描述商品交换的著名的“埃奇沃思方盒(Edgeworth Box)”。他在阐述完全竞争条件时指出,一个完全的竞技场还得具有某些特别有利于数学计算的性能。

马歇尔最早是作为一个数学家开始学术生涯的,在其1890年出版的《经济学原理》(The Principles of Economics)中,给出现代微观经济学教科书中许多“既直观易懂、又不失数学严谨的曲线图像”。马歇尔经济学说的核心是均衡价格论,而《经济学原理》正是对均衡价格论的论证和引申,该书的主要成就就在于建立了静态经济学。作为最有才华的数学家之一,马歇尔在他的著作里力求用最简洁的语言表达思想,把数学的定量材料仅仅作为附录和脚注。

帕累托完全采用数学方法研究瓦尔拉斯的一般均衡理论,提出了“帕累托最优条件”,并在1911年为《数学百科全书》撰写了以“数理经济学”(Mathematical Economics)为题目的文章。正是从这个时期开始,数理经济学作为一门学科的名称流传开来。欧文·费雪⑨1892年出版了《价值与价格的数学研究》(Mathematical Investigations In The TheoryOfValue And Prices,And Appreciation And Interest),成为美国比较早采用数学方法研究经济学的学者。庞巴维克提出“边际对偶(marginal pairs)”理论,他认为,买卖双方众多个人对物品都有不同的各自主观评价,接近于供求平衡的两对买卖者称为边际对偶。市场价格是由边际对偶的主张评价所限制和决定的。

在数学方法运用于边际分析阶段,高级微观经济学研究取得的成就可概括为三个方面:形成和发展了一套完整的微观经济活动者行为理论;提出了一般经济均衡问题,建立了一般经济均衡的理论框架;创立了当今的消费者理论、生产者理论、垄断竞争理论、及一般经济均衡理论的数学基础。数学工具主要是微积分中的“导数”和“偏导数”、“全微分”和“拉格朗日乘数法”。

(三)新古典经济学之后:数学方法全面运用于经济学

1.数理经济学的建立和发展

数理经济学(Mathematical Economics)是一门形式理论经济学,是经济学研究方法与研究方式的汇总。从学科性质上看,数理经济学应是经济学的基础学科。数理经济学在20世纪的发展受很多因素推动。其中,最重要的是一般经济均衡理论的证明。瓦尔拉斯⑩提出一般经济均衡之后,并未给出准确的数学证明。此后,许多学者致力于该定理的证明。真正将微积分等现代数学技术运用于表述经济理论的是约翰·希克斯(John Hicks)的《价值与资本:经济理论的若干基本原则之探究》(Value and Capital: An Inquiry into Some Fundamental Principles of Economic Theory,1939)。在该书中,希克斯以严格的数学工具,对序数效用论、无差异曲线等概念和理论进行了系统的阐述和完善。将静态分析方法的适用范围扩大而把多时期分析包括在内,希克斯的模型为研究外生变量变化的结果提供了大得多的可能性。1947年,保罗·萨缪尔森(Paul A.Samuelson)出版《经济分析基础》(Foundations of Economic Analysis),该书以数学为工具,使各种理论和方法获得基本统一的表述,并以此总结了新古典经济学的主要成就。该书将最大化原理和均衡原理结合在一起,使新古典经济学的主体内容有了经典的数学表述形式,这正是它成为经典的原因。可见,希克斯的《价值与资本》和萨缪尔森的《经济分析基础》,全面总结和发展了边际分析阶段的研究工作,尤其是希克斯发展了一般均衡理论,萨缪尔森则把显示性偏好与均衡稳定性结合起来研究。这两部著作使边际分析到达了顶点,从而成为经济学史上的两部名著。尽管希克斯和萨缪尔森的研究中进行精密的数学分析和求解,但仍以微积分为主要工具,要受连续函数的不切实际假定的限制。所以,进入20世纪50年代以后,数理经济学的基础由微分转变为集合论等新的数学工具。J.冯·诺伊曼(John von Neumann)、K.J.阿罗(Arrow)、吉拉德·德布鲁等先后用集合论(主要数学工具是数学分析、凸分析和拓扑学)和线性模型(主要数学工具是线性代数和线性规划)展开新的探索。在这种转变中,影响最大的首推阿罗1951年的《社会选择与个人价值》(Social Choice and Individual Values)。该书的主题是社会选择理论的公理化,但在其研究过程中,运用集合论技巧,为一般均衡的研究提供了一个框架。

20世纪60年代以后数理经济学和微积分、集合论、线性模型结合在一起,同时数学方法的运用几乎遍及经济学的每个领域。第二次世界大战以后,经济生活的需要和电子计算机的发明,促使与数理经济学有关的经济计量学得到迅速发展,它反过来又推动数理经济学继续前进。

2.计量经济学的建立和发展

计量经济分析是20世纪20年代之后发展起来的一项重要经济学分析技术或工具。计量经济学(Econometrics)是由弗瑞希(R.Frish)在1926年仿照“计量生物学(Biometrics)”一词而提出。计量经济学会在1930年得以成立,不久《计量经济学》(Econometriea)杂志出版。弗瑞希于1933年发表《动态经济学中的扩散问题和冲击问题》一文,从计量经济学的角度将经济分析划分为静态分析(Static analysis)和动态分析(Dynamic analysis)。1939年,他编制了世界上第一个宏观计量经济模型。第一届诺贝尔经济学奖就授予了弗瑞希和简·丁伯根(Jan Tinbergen)。丁伯根提出了著名的“蛛网模型”(cobweb theorymodel),并成功地运用差分方程进行动态分析,建立了一套完整的美国经济计量模型。他还运用数学方法检验资本主义经济周期运动。劳伦斯·克莱茵(Lawrence R.Klein)将计量经济学方法与凯恩斯主义(Keynesianis m)宏观经济学分析结合起来,创立了宏观经济计量学。1950年在《凯恩斯革命》(The Keynesian Revolution)中,第一次完整地将凯恩斯的经济理论表述为数学形式。1955年劳伦斯·克莱茵与戈德伯格(Arthur S.Goldberger)合作,发表《美国的一个经济计量模型,1929-1952》(An Econometric Model of United States,1929-1952)论文,构建了一个包括22个方程的美国年度经济的“莱因-戈德伯格模型”,不仅在结构、规模和先进的估算方法论方面是现代宏观模型的鼻祖,而且也是正式地用于经济波动预测的第一个经济计量模型,对以后美国和其他国家建立的宏观经济计量模型有深远而普遍的影响。克莱因还帮助其他国家建立模型,包括1947年的加拿大模型、1961年的日本模型、1961年的英国第一季度模型。他关于发展中国家模型式样的建议,明显地被采纳于印度、墨西哥、苏丹等不同国家的模型中。他还与他人一起,致力于建立前苏联的模型,对前苏联的经济计划和计划执行进行经济计量的描述。

由于计量模型的预测常常失败,20世纪60年代中期以后,计量经济分析的重心便从模型参数的估计和检验转向模型设定的方法论讨论,强调对计量经济分析方法与技术的思想本身进行研究,强调对模型同经济理论和统计学原理的一致性进行探讨,运用范围也从传统的宏观经济领域转向微观领域及其他领域。计量经济学在分析方法得到迅速发展的同时,大量运用于经济学理论命题的实证检验。

3.博弈论改写经济学

无论微积分,还是拓扑学抑或集合论,在经济学研究中均存在着一个共同的局限性,即它们只在均衡分析中才能充分发挥作用。20世纪70年代以前的西方经济学主要偏重于均衡分析和完全竞争,原有的用于经济学分析的数学工具有一定局限,博弈论的数学方法能弥补这些局限,可用于非均衡分析和非完全竞争状态下的分析。博弈论不是经济学的一个分支,它只是一种方法,是数学的一个分支,是适用于研究行为互动局势的一种通用的分析方法。据国外有关检索结果,近几年在经济学类文献中,出现频率最高的关键词之一就是“game theory”。

1944年奥斯卡·摩根斯坦(OskarMorgenstern)和冯·诺伊曼(John von Neumann)共同出版了《博弈论与经济行为》(Theory of Games and Economic Behavior),该著作提出合作博弈的基本模型,标志着系统的博弈理论的形成。该著作因此被称为“博弈论的奠基之作”,被称为20世纪前50年人类最伟大的科学成就之一。一直到现在,该书也是博弈论的经典著作。奥斯卡·摩根斯坦和冯·诺伊曼是最早考虑经济行为者决策“互动”性质的重要性的经济学家。到20世纪50年代,合作博弈发展到鼎盛期,非合作博弈也开始产生。约翰·纳什(John Nash)的《N人博弈的均衡点》(Equilibrium Points in N-person Games)(1950)、《非合作博弈》(Non-Cooperative Games)(1951)明确给出了“纳什均衡”(Nash equilibrium)的概念和均衡存在定理,图克(Tucker) 1992年则定义了“囚徒困境”(prisoner’s dilemma)。两人的著作奠定了现代非合作博弈论的基石。

20世纪60年代是博弈论的成熟期。不完全信息与1985年罗伯特·约翰·奥曼(Robert John Aumann)对“非转移效用博弈”(non-transferable utility)的扩充使博弈理论变得更具广泛应用性。约翰·海萨尼(John Charles Harsanyi)于1967-1968年将分析方法拓展到不完全信息博弈,从而为理性行为的分析和信息经济学奠定了坚实的基础。20世纪70年代以后,博弈论形成了一个完整的体系;大体从20世纪80年代开始,博弈论逐渐成为主流经济学的一部分。博弈论的运用包括不完全竞争、市场均衡、谈判、产品质量、保险、委托——代理关系、歧视、公共产品等微观领域,并且已扩展到宏观经济学、产业组织理论等等。有些经济学家还利用博弈论方法,来分析合作、利他主义、信任、惩罚、报复之类的现象,力图探讨社会规范、制度如何产生的棘手问题。1994年纳什、约翰·海萨尼(John Charles Harsanyi)和泽尔滕(Selten)在非合作博弈的均衡分析理论方面做出了开创性的贡献,使经济博弈论全面形成并获得了诺贝尔经济学奖。1996年,威廉·维克里(W illiam Wekey)和詹姆斯·莫里斯(James A.Mirrlees)再次因为对博弈论研究的突出成果而荣获诺贝尔经济学奖。博弈论开始对其他学科的研究产生强有力的影响,计算机技术的飞速发展使得研究复杂和设计大规模计算的博弈模型发展起来。2005年,奥曼和托马斯·克罗姆比·谢林(Thomas Crombie Schelling),因“通过博弈论分析而增进对冲突和合作的理解”荣获诺贝尔经济学奖。2007年,又是三位博弈论研究领域的经济学家荣获诺贝尔经济学奖,分别是:里奥尼德·赫维茨(Leonid Hurwicz)开创了机制设计理论;埃里克·马斯金(Eric S.Maskin)因公共选择理论、博弈论、激励理论与信息理论以及机制设计而获奖;罗杰·迈尔森(Roger B.Myerson),其博士课题为“一种合作博弈理论(A Theory of Cooperative Games)”,对博弈论有深入的研究,著有《博弈论:矛盾冲突分析》(Game Theory: Analysis of Conflict)及《经济决策的概率模型》(ProbabilityModels for Economic Decisions)。

博弈论运用数学方法来描述所研究的问题,主要应用集合论、泛函分析、实变函数、微分方程等许多现代数学知识和分析工具,具有明显的数学公理化方法特征,使博弈论所分析的问题更为精确。博弈论研究方法具有抽象化的特征,这是由于博弈论分析大量使用了现代数学,使它描述和分析的过程及所揭示的结论都带有极其抽象的特点。

四、结语

1.数学是现代经济学研究的重要工具。数学为经济学提供了解决问题的一种思路、一种方法。若不用数学的数据与方法,一些经济现象则无法研究。现代经济学博大精深,经济学家运用数学语言能够更严格地阐述、更精炼地表达其观点和理论,用数学模型来分析各个经济变量之间的相互依存关系。由于经济学的度量化、将各种前提假设条件精确化,它已成为了一门体系严谨的社会科学。

2.21 世纪数学在经济学领域的运用将超过物理学。基于许多分析的方法,特别是现代数学,包括随机数学、模糊数学、熵等理论在金融、投资等方面的运用。

3.数学方法是经济学研究的必要条件,但不是充分条件。这也正是经济学的数理学派与行为学派进行激烈争论(特别在不确定领域)的重要原因。经济学中很多问题尚不能完全用数学方法得到求解,如三人以上的博弈在数学上尚未找到一般程序求解随机策略纳什均衡。说明数学仅仅是经济学研究的必要工具之一,但绝不是万能的工具与方法。

[注 释]

① 保尔·拉法格(Paul Lafargue),1891,马集译,1973:《忆马克思》,辑于《回忆马克思恩格斯》,人民出版社,第7页.

② 格里高利·曼昆(N.GregoryMankiw),梁小民译.经济学原理(Principles of Economics)(上册).机械工业出版社,2003.

③ 同上.

④ 西尼尔.政治经济学大纲.商务印书馆,1986;萨伊.政治经济学概论.商务印书馆,1964.

⑤ 1897,English.translation.byN.T.Bacon.

⑥ 常被当作数理经济学的开端.

⑦ Edgeworth说,古诺的论著“是以数学形式把经济科学里的某些高度概括的命题,陈述得最好的。”现代经济学家还指出,古诺是最早用博弈论思想分析经济问题的先驱者,他的“双头模型”成功地运用了博弈论.

⑧ 很可能是经济学历史上一部最难以理解的重要著作.

⑨ 美国经济学家、数学家,经济计量学的先驱者之一,美国第一位数理经济学家.

⑩ 现在均将19世纪70年代杰文斯和瓦尔拉斯极力提倡且实行以数学推理为经济理论研究的唯一方法当作数理经济学和数理学派的正式形成,而把此后到20世纪初,F.Y.埃奇沃思、A.马歇尔、费雪、V.帕累托等在经济学里进一步运用数学推理当作这个学科和学派的发展.

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[责任编辑:张晓娟]

F224.9

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1004-5295(2010)04-0010-07

2010-08-01

李逸群(1989-),女,内蒙古呼和浩特人,郑州大学数学系在读本科生,从事数学与应用数学研究.