MIMO-OFDM系统中基于变分贝叶斯EM算法的联合符号检测与信道估计

张晓瀛，魏急波，王德刚，熊春林

（国防科技大学 电子科学与工程学院，湖南 长沙 410073）

1 引言

多输入多输出正交频分复用系统具有优良的传输特性，近来引起广泛关注。一方面，正交频分复用（OFDM）可以有效对抗无线信道的频率选择性衰落；另一方面，OFDM与多天线技术相结合，可利用发送和接收端的空间自由度获取更大的信道容量和更高的频谱利用率。

信道估计在 MIMO-OFDM 系统的相干接收中占有重要地位。对于时变多径信道而言，基于导频的信道估计需要占用大量系统开销，而盲估计往往计算复杂，收敛缓慢，因此，联合符号检测和信道估计技术成为许多学者研究的热点。文献[1]联合QRD-M检测与面向判决Kalman信道估计算法设计了MIMO-OFDM系统的接收机；Lu等人设计了空时块码OFDM系统中基于EM算法的迭代接收机[2]。文献[3]设计了基于RLS算法的EM迭代接收机。这些文献设计的信道估计算法都利用了从信号检测中获得的硬判决符号，容易受到错误传播的影响。文献[4]虽然在信道估计中考虑了发送信号的一阶和二阶统计信息，但是在符号检测中忽略了信道估计误差的影响，在一定程度上也损失了性能。

最优的联合符号检测和信道估计应该通过最大化未知参数的联合后验概率密度函数来获得，但在通常情况下，这种方法非常复杂，难以实现。变分贝叶斯期望最大化(VBEM, variational Bayes expectation maximization)算法基于变分推理，通过迭代寻找最小化 KL(Kullback-Leibler)距离的边缘分布来近似联合分布，同时利用mean field近似减小联合估计的复杂度[5]。本文在编码MIMO-OFDM系统中设计了基于VBEM算法的Turbo迭代接收机，突破了传统EM算法只能获得参数点估计的限制，以随机参数的后验概率分布为估计对象，在软入软出检测器中考虑了信道估计误差的影响，并由此推出了一种新的最大后验概率列表球形译码器；基于空时检测器获得的符号软信息，推出了VBEM框架下基于软信息的Kalman前向后向滤波算法。最后通过仿真证实了设计算法较传统算法的优越性。

本文采用的主要符号表示如下： IN表示N×N的单位矩阵；矩阵 X(n)的第 i行和第 j列表示为[X ( n)]i,j；矢量 x ( n, k)的第i个元素表示为[x ( n, k )]i；Tr{×}表示迹；diag(x) 表示以矢量x中的元素作为对角元素的对角矩阵；⊗表示Kronecker 积。

2 系统模型

考虑具有 Nt根发送天线， Nr根接收天线的MIMO-OFDM系统，子载波数目为K，每帧数据分组含 Ns个OFDM符号。信源比特c经信道编码后进行比特交织，每 mc个交织后的编码比特通过星座集合映射为一个星座符号。通过串并变换，第 q个符号块{ xq( n, k), k =0,1,… ,K -1}通过OFDM调制器从第q根天线发送。发射端框图如图1所示。

假设不同收发天线对之间的单入单出信道独立同分布，且在一个OFDM符号间隔内保持不变，第q根发送天线和第r根接收天线之间的离散信道冲激响应可以表示为

图1 MIMO-OFDM系统的发射机框图

其中，L表示信道时延扩展。假设信道在不同OFDM符号之间时变，则时变信道可视为广义平稳窄带复高斯—马尔可夫过程。采用一阶AR过程对时变信道建模，状态空间方程可以写为

其中，Yr(n) = [yr( n, 0),… , yr( n, K -1)]T为频域接收信号；为发送信号，Xq(n)=diag([xq( n, 0),… ,xq( n, K -1)])表示第q根发送天线上的发送信号；W = INt⊗F，F表示K×K的DFT矩阵的前L列；ωr( n)表示第r根接收天线上的零均值复高斯噪声，噪声方差为σ2。将所有接收天线上的接收信号写入 K ×Nr的矩阵则有

其中，H( n, k )=(INt⊗Fk) h(n),Fk表示F矩阵的第k行。x(n, k)=[ x1( n, k ) ,…,xNt(n, k )]T为发送信号矢量，v′(n, k)为相应的噪声矢量。

3 联合符号检测和信道估计

本节首先简要介绍变分贝叶斯EM算法。假设观测数据为θ，α1为感兴趣的未知参数，α2为未知隐数据。为了求解α1和α2的联合估计，需要最大化联合后验分布这种最大化计算往往非常复杂。为了简化计算，VBEM算法定义未知参量的辅助分布 PA( α2, α1)，通过最小化KL(Kullback-Leibler)距离获得近似最优的辅助分布[5]：

借助 mean-field近似：PA(α2,α1)=Pα2(α2) Pα1(α1)，VBEM算法通过循环执行VBE步骤和VBM步骤获得参数分布估计，用迭代方式最小化KL距离。在第i次VBEM迭代中，参数分布的更新过程[5]如式(8)和式(9)所示：

VBE 步骤：

VBM 步骤：

3.1 空时检测

假设α1对应待求的信道参数,α2为发送信号，接收信号为观测数据。VBE 步骤基于从第(i－1)次迭代获得的信道参数分布对的分布进行更新：

假设编码比特进行理想交织，则可以近似认为不同 OFDM 符号、不同子载波上发送数据之间的相关性可以忽略。此时，的更新可以解耦为不同OFDM符号n、不同子载波k上发送数据 x ( n, k)的分布(x ( n, k ))的更新。假设在第(i－1)次VBEM迭代中已经获得 h( n)的均值以及 hq,r(n)对应的估计误差协方差矩阵则式(10)可以由式(12)计算：

新推出的类MMSE搜索中心转移最大后验概率列表球形译码（MLCS-MLSD, MMSE-likecenter-shifting MAP-LSD）算法具有如下优势：1) 使用类 MMSE搜索中心可对搜索空间进行限制，从而降低搜索复杂度[7]；2) MLCS-MLSD算法可以用于发送天线数大于接收天线数（Nt＞Nr）的一般情况；3) 由式(14)可知，在x ( n, k )可能取值的代价度量计算中包含了信道估计误差协方差矩阵的影响；4）基于式(15)，MLCS-MLSD算法可以利用文献[8]中设计的最小均方误差排序 QR分解方法对搜索层进行排序，将具有较高信噪比的层移至接近根的位置优先检测，在搜索排序中考虑了信道估计误差协方差矩阵的影响。

通过搜索获得列表 L ist(x( n, k))后,x (n, k)的概率分布可以近似写成

x( n, k)的均值和方差可以视为检测器置信度的一种度量，分别按照式(18)和式(19)计算：

按照Turbo迭代原理，编码比特外信息解交织以后送入软入软出译码器，译码器计算比特的后验信息和外信息，并将外信息重新交织后返回列表球形译码作为下次迭代的先验信息。

3.2 信道估计

假设初始时刻的 (0)h 服从高斯分布：

式(25)～式(31)给出了基于软信息的前向后向Kalman滤波算法，该算法与传统的前向后向Kalman滤波的不同之处在于：传统前向后向Kalman滤波基于已知的导频符号[10]；而本文中推出的算法中采用均值()n和二阶矩代替导频信息 X ( n)和 X ( n)HX ( n)。从式(30)和式(31)获得(n-1)及估计误差协方差(n-1)后, 即可相应获得式(13)计算所需的用于下一次VBE步骤的计算。

3.3 初始化和接收机结构

VBEM算法的性能受到初始估计的影响，为了获得较为准确的初始估计，将数据帧的第一个OFDM符号用于发送相互正交的导频，基于最小二乘算法获得初始的信道估计[11]，对 VBEM 迭代进行初始化。

本文设计的接收机中存在 2种类型的迭代处理。一方面，软入软出检测和软入软出译码通过交换外信息完成 Turbo迭代；另一方面，VBEM 迭代处理通过交换发送符号和信道的后验信息完成联合符号检测和信道估计，VBEM迭代嵌入在 Turbo循环中，迭代接收机框图如图2所示。

图2 Turbo接收机框图

4 仿真分析

仿真试验构造的2根发送天线2根接收天线的MIMO-OFDM 系统具有 64个子载波，系统带宽为800kHz。信息比特通过生成多项式为[111,101]8的1/2卷积码编码，交织以后进行QPSK星座映射。每个数据帧包含一个导频符号和10个OFDM数据符号。其中第一个导频符号用于初始信道估计[11]。收发天线对之间的信道模型服从三径的指数延时功率谱。假设Ts表示一个OFDM符号的时间间隔，fd表示多普勒频率，考虑 fdTs= 0 .02和 fdTs= 0 .03这2种归一化的多普勒频率。在以下的仿真结果图中，“导频方法”表示仅依靠导频进行信道估计的 Turbo迭代接收机；“本文方法”表示新设计的基于 VBEM 算法的Turbo接收机；“面向判决”表示采用传统列表球形译码[9]和面向硬判决Kalman信道估计的Turbo接收机；“文献[2]方法”表示文献[2]中设计的接收机。接收机名称中的“迭代”表示Turbo迭代次数。

在“面向判决”Turbo接收机和本文设计的接收机中，列表球形译码器搜索相同数量的列表符号，而在文献[2]中，检测算法进行穷尽搜索。为公平起见，以下的复杂度对比没有考虑文献[2]中的穷尽搜索检测。表1给出了在相同信噪比和搜索列表点数的条件下，传统LSD算法和本文设计的MLCS-MLSD算法完成每次搜索所消耗的平均浮点运算次数。

表1 检测算法复杂度比较

从表1可以看出，采用MLCS-MLSD算法可以有效减小检测算法的搜索复杂度，同时计算出考虑信道估计误差影响的符号度量。

图 3给出了归一化多普勒频率 fdTs= 0 .02时本文算法在不同Turbo迭代次数下的误码率性能，在每次Turbo迭代中嵌入了3次VBEM迭代。从图中可以看出：本文设计接收机的误码率随着迭代次数的增加而逐渐下降，在第1～第3次迭代时随着迭代次数的增加误码率性能有较为明显的改善，但在第3次迭代以后这种性能提升不再明显，仿真结果说明本文设计的接收机大约能在4次迭代内收敛。

图3 fdTs= 0 .02时接收机的误码率性能

图4比较了相同仿真条件下本文算法和其他几种经典迭代接收算法的误码率性能。从图中可以看出：在信道快速时变的条件下，仅依靠导频进行信道估计的“导频方法”Turbo接收机误码率很高，这种仅依靠初始导频和信道统计特性进行信道估计的方法缺乏时变跟踪能力，即使增加迭代次数和信噪比也不能使接收机的误码率性能得到提高。“本文方法”接收机的误码率在前3次迭代中能随着迭代次数的增加而显著下降，第3次迭代后算法趋于收敛，类似的特性也表现在“文献[2]方法”和“面向判决”Turbo接收机中。对比几种算法的误码率性能可以看出：新设计的“本文方法”性能优于“导频方法”、“文献[2]方法”和“面向判决”接收机的性能；当信噪比大于 15dB时，本文接收机通过3次迭代误码率可以达到10-3以下，有效降低了“文献[2]方法”和“面向判决”接收机的误码平底，这说明在时变较为剧烈的条件下，文中设计的接收机具有更好的顽健性。

图4 fdTs= 0 .03时不同接收机的误码率性能比较

图5 本文设计接收机中信道估计的归一化均方误差性能

图5给出了2种归一化多普勒频率条件下本文接收机中信道估计器获得的归一化均方误差（NMSE，normalized mean-square error）[11]。从图中可以看出，信道估计的性能随着 Turbo迭代的进行而逐步得到精化，在VBM步骤中估计的信道信息一方面通过嵌入Turbo迭代而获得迭代增益另一方面通过与VBE步骤交互信息来提升整个接收机信号检测的性能。

5 结束语

本文设计了 MIMO-OFDM 系统中一种新的联合符号检测与信道估计接收机。该接收机基于VBEM 算法更新未知发送符号和信道系数的概率分布，在 VBE 步骤中基于前一次迭代获得的信道参数估计更新符号的后验均值和方差，考虑了信道估计误差对发送符号后验分布和比特外信息计算的影响；在VBM 步骤中基于发送数据的后验分布，推出了基于软信息的前向后向Kalman滤波算法。仿真结果证实了设计算法在时变多径信道条件下的优越性能。

附录A 式(12)和式(13)的推导

基于式(11)计算式(10)中的对数似然比均值：

假设编码比特之间的相关性因为理想交织而可以忽略，则有

将式(33)和式(34)代入式(10)获得式(12)和式(13)。

附录B 式(14)的推导

基于式(13)，具有较大后验概率的 x ( n, k)的度量J′(x(n, k))应满足下列不等式：

定义度量 J ( x ( n, k))为

注意到 J ( x ( n, k))等式右边的后两项和 x ( n, k)无关，因此等效不等式条件为 J ( x ( n, k ) )≤ R2，整理可得

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