集值映射迭代根的不存在性

李春晔

(嘉兴学院数学与信息工程学院,浙江嘉兴314001)

1 引言

给定一个映射 f：X→X,其中X是一个非空集合,如果存在映射g：X→X,满足以下方程

则称g为f的n次迭代根。

自从Babbage在1815年研究恒同映射的迭代根问题[1],越来越多的人开始关注方程(1)的各种形式解[2-5]。至今,关于区间上严格单调自映射的结果相对丰富一些[3,4]。简单地说,区间上严格递增的连续自映射具有任意次连续递增根,同时也存在任意偶数次连续递减根。而严格递减映射却没有偶数次连续根。对于非单调的情况,文献[6-8]研究的是一类严格逐段单调连续函数,简称为PM函数,通过特征区间来刻画其迭代根的构造。

除了连续函数的迭代根,同样关注非连续的情况,而集值映射便是其中一种。文献[10]在文献[3]的基础上,继续研究此类映射的不存在性问题,并且讨论一类严格递增且上半连续的集值映射,给出其两次根的具体构造。研究的是具有两个集值点的映射,给出此类映射两次迭代根不存在的条件。

2 主要结果

令I=[a,b]是一给定区间,当 x1,x2∈I且x1＜x2,称集值映射 f：I→2I是严格递增[严格递减]。如果supf(x1)＜inf f(x2)[inf f(x1)＞supf(x2)],不管是严格递增还是严格递减,统称为严格单调。

给定c1,c2∈I,令F(I)[F1(I),F2(I)]分别代表所有严格单调的集值映射 f：I→2I满足基数#f(ci)＞1[#f(c1)＞1,#f(c2)＞1],并且对任意 x∈I{ci}[x∈I{c1},x∈I{c2}],f(x)是个单值,其中 i=1,2。引理1 令 f∈F(I),那么 f的所有两次迭代根都属于集合F1(I)∪F2(I)∪F(I)。

证 令g：I→2I是f的一个两次迭代根。根据 f的单调性,g也是一个严格单调的集值映射。若存在 x0∈X{ci},满足#g(x0)＞1。不妨令 u,v∈g(x0),那么 g(u),g(v)∈g(g(x0))=f(x0)。由于 f(x0)是个单值,这就意味着 g(u)=g(v),则 u=v,那么#g(x0)=1,因此 g∈F1(I)∪F2(I)∪F(I)。

定理1 令 f∈F(I),如果 f(ci)={ci,xi},xi∈I,i=1,2,那么 f不存在两次迭代根。

证 反证法,假设 f存在两次迭代根g：I→2I。根据引理1,g∈F1(I)∪F2(I)∪F(I)。若#g(c1)＞1[#g(c2)＞1的情况可以类似讨论]。由已知条件c1∈f(c1)=g(g(c1)),则存在 p1∈g(c1)满足 c1∈g(p1),那么 g(c1)⊂g(g(p1))=f(p1)。因为#g(c1)＞1,这就意味着 p1=c1或者 p1=c2。

若 p1=c1,即 c1∈g(c1),则

于是有 g(c1)={c1,x1},并且

则 g(c1)∩g(x1)≠Ø,与 g的严格单调性矛盾。因此有 p1=c2,即 c2∈g(c1)。那么,

进一步,得到

由于#g(c1)＞1,这同样和g的严格单调性矛盾。因此 f不存在两次迭代根。

3 例子

由引理1可知,f1的所有两次迭代根都属于F1(I)∪F2(I)∪F(I),即 f1的两次迭代根只能在c1或者c2取到多值(见图1)。根据定理1,则 f2不存在两次迭代根(见图2)。

图1 f1∈F(I)

图2 f2(ci)={ci,xi}

[1]Ch Babbage.Essay towards the calculus of functions[J].Philosoph.Transact,1815：389-423.

[2]S Bogatyi.On the nonexistence of iterative roots[J].Topology Appl,1997,76：97-123.

[3]M Kuczma.Functional equation in a single variable[M].Warszawa：Polish Scientific Publishers,1968.

[4]M Kuczma,B Choczewski,RGer.Iterative functional equations[M].Cambridge：Cambridge University Press,1990.

[5]Gy Targonski.Topics in Iteration Theory[M].Göttingen：Vandenhoeck and Ruprecht,1981.

[6]Lin Li,Dilian Yang,Weinian Zhang.A note on iterative roots of PM functions[J],J.Math.Anal.Appl,2008,341：1482-1486.

[7]张景中,杨路.论逐段单调连续函数的迭代根[J].数学学报,1983,26：398-412.

[8]Weinian Zhang.PM functions,their characteristic intervals and iterative roots[J].Ann.Polon.Math,1997,65：119-128.

[9]Witold Jarczyk,Weinian Zhang.Also multifunctions do not like iterative roots[J].Elemente Math,2007,62：1-8.

[10]Lin Li,Justyna Jarczyk,Witold Jarczyk,Weinian Zhang.Iterative roots of mappings with a unique set-value point[J].Publ.Math.Debrecen,2009,75：203-220.