多值函数w=Lnf（z）的单值解析分支

王金花，王　冲沧州师范学院数学与统计学院

多值函数w=Lnf（z）的单值解析分支

王金花，王冲
沧州师范学院数学与统计学院

该文改变了传统的将多值函数w=Lnf（z）分成单值解析分支的方法，并且给出了多值函数w=Lnf（z）单值解析分支的具体表达式以及求导公式.

多值函数；单值解析分支；柯西-黎曼条件

1、引言

将多值函数分成单值解析分支是复分析的重点和难点，对于多值函数w=Lnf（z），将其分成单值解析分支的做法一般是通过找函数的支点，沿支割线将复平面割开得区域G，在区域G上将函数分成单值解析分支.这样做有两方面的缺点：其一，当 f（z）较复杂时，f（z）的支点不易找；其二，f（z）的单值解析分支没有明确的表达式.本文改变了将w=Lnf（z）分成单值解析分支的传统做法，不必找函数的支点和支割线，同时给出了w=Lnf（z）单值解析分支的具体表达式，并且得到了w=Lnf（z）单值分支的导数公式。

2、预备知识

定理1［1］单值函数 f（z）=u（x，y）+iv（x， y）在区域D上解析当且仅当下面条件成立

（1）u（ ）x，y与v（x，y）在区域D上有连续的一阶偏导数；

（2）u（ ）x，y与v（x，y）在区域D上满足柯西－黎曼条件：

定理2［1］多值函数w=Lnz的支点为z=0和z=∞，当取支割线为负实轴（含原点）时，可分成单值解析分支：

并且

定理3［2］设 f（z）=u（x，y）+iv（x， y）是区域D上的单值解析函数，则点集

是开集。

定理4当复数z≠0且不是负实数时，记z的复角的主值arg z=θ（-π＜θ＜π） ，则

3、主要结论

定理5 设f（z）=u（x，y）+iv（x， y）是区域D上的单值解析函数，则在开集D1=D-｛（x，y）|v（x， y）=0，u（x， y）≤0｝上，w=Lnf（z）可分成如下单值解析分支：

［1］钟玉泉.复变函数［M］.北京：高等教育出版社，2008，4：67-89，126.

［2］王金花.一类多值函数的单值解析分支［J］.沧州师范学院学报，2016，32（1）：17-19.

王金花（1963-），女，河北河间人，沧州师范学院数学与统计学院副教授，研究方向：非线性泛函分析；

王冲（1981-）女，河北保定人，沧州师范学院数学与统计学院讲师，研究方向：拓扑。