独立分量分析在图像去噪中的应用

(东北石油大学学生工作处，黑龙江 大庆 163318)

林义刚

(东北石油大学油气信息与控制工程学院，黑龙江 大庆 163318)

李 娜

(南京师范大学电气自动化学院，江苏 南京 210046)

李 宏

(东北石油大学电气信息工程学院，黑龙江 大庆 163318)

图像是人类了解世界的一个重要信息来源，因此对图像进行一系列的编码、压缩、传输等操作在图像处理中非常重要。在图像处理过程中，噪声的产生是不可避免的，不同程度噪声干扰存在于任何未经处理的原始图像中。噪声使图像模糊甚至淹没特征[1]，因而图像去噪成为图像处理中的重要一环。在图像处理过程中，图像去噪的方法很多，通常分为空域去噪法和频域去噪法。均值滤波、灰度变换、直方图均衡等方法是比较典型的空域去噪法，而小波域值去噪法和从集合角度来分析图像的数学形态学去噪法则在频域去噪法中广泛应用。通常，图像去噪时都是通过选用不同的参数处理相应情况，而图像的统计信息往往很少被利用。独立分量分析法针对高阶统计量对高斯噪声不敏感的特点，对图像数据的高阶统计量进行计算，属于一种改进的图像去噪方法[2]。为此，笔者基于数学形态学、稀疏编码与独立分量分析方法对图像去噪问题进行讨论。

1 独立分量分析

1.1 盲源信号分离与独立分量分析

图1 BSS分解简图

独立分量分析[2](Independent Component Analysis，ICA)属于一种多通道数字信号处理技术，其含义是将信号分解为若干个相互独立的成份，若信号本来就由若干独立信源混合而成，则只靠单一通道观察不可能恰好把这些信源分解开，因此，需要借助于一组多通道把这些信源按不同混合比例组合起来同步观察。但把一组观测信号分解成若干独立成分的结果具有不唯一性，因此，在分解过程中需要施加若干约束条件。独立分量分析是伴随着盲源信号分离(Blind Source Separation，BSS)的发展而共同发展起来的。BSS的任务是只通过多通道系统的输出X,进而判断其输入的S以及系统的传递函数H，如图1所示。显然其任务的解答是不唯一的，所以一般至少需假设S中各分量具有相互独立性、零均值且方差为1的特点。

1.2 ICA最简形式

假设n个观测信号xi∈{x1,x2,…,xn}是si∈{s1,s2,…,sn}的线性组合(其中si是未知且统计独立的源信号)：

xi=ai1s1+ai2s2+…+ainsni=1,2,…,n

(1)

式中，aij表示第i个观测信号中第j个源信号的权重，通常可假设观测信号xi和源信号si都具有零均值。

以向量形式改写式(1)：

X=AS

(2)

式中，X={xi};A={aij}为一混合矩阵;S={si}；i=1,2,…,n；j=1,2,…,n。式(2)给出了ICA的混合模型。由于在ICA中混合矩阵A和独立分量S假设为未知，仅观测信号X为已知，因此，如何通过观测信号估计出A和S的过程是一个盲源信号分离问题。假设A可逆，则存在一个分离矩阵B=A-1，使得S=BX，从而使源信号得到恢复。但是，由于A未知，所以B=A-1需要通过估计获得，然后利用任意分离矩阵得到分离信号：

Z=BX

(3)

式(3)表明，独立分量分析可以通过优化分离矩阵B，从而使分离得到的信号Z在一定意义上等价于实际源信号S。

1.3 ICA固有的2个不确定性问题及源信号非高斯性度量

BSS存在幅度不确定性和顺序不确定性[3]，ICA作为BSS的一种，也必然存在上述不确定性问题，下式表述了其基本原理：

(4)

式中，X(t)为观测信号；ai和si(t)分别为混合矩阵A和源信号S(t)的第i分量；bi为任意非零常数。从式(4)可知，所得到的观测信号不会因为同时交换不同的源信号分量及其所对应的混合矩阵列的位置而改变；互换一个源信号分量与其对应的混合矩阵的列的一个固定非零系数因子，也不会改变观测信号。所以，在盲源信号分离过程中，幅度和顺序的不确定性问题是必然存在的。

负熵是信号非高斯性的一个定量度量，高斯信号的负熵为零[4]。对于任意随机变量x，负熵的定义为：

(5)

其中，pG(x)表示与p(x)有相同方差的高斯分布;HG(x)和H(x)是对应随机变量的信息熵。当随机变量x为高斯分布时负熵为零，其他任意时刻负熵的值皆为非负。并且，在相同方差的前提下，一个随机变量的高斯性越强，其负熵的值就越小。

2 数学形态学基本运算

数学形态学是一套完整的理论体系，其不以传统的数值建模及分析为出发点，而是从集合的角度来处置图像。数学形态学与几何之间存在着直接关系，而显式的几何描述非常适于对形状的表述和分析。数学形态学的基本算子包括腐蚀、膨胀、开、闭等，具体表述如下。

2.1 腐蚀运算

腐蚀是数学形态学最基本的运算。E(M,N)意为集合M被集合N腐蚀，定义为：

E(M,N)={x:N+x⊂M}

(6)

式中，M表示输入图像;N表示结构元素。

2.2 膨胀运算

与腐蚀运算相对应的是膨胀运算，记为D(M,N)，定义为：

D(M,N)={x:(-N+x)∩M≠∅}

(7)

2.3 形态开运算

图像M对N的开运算定义为：

O(M,N)=D(E(M,N),N)

(8)

2.4 形态闭运算

闭运算是开运算的对偶运算，图像M对结构元素N的闭运算记为C(M,N)，定义为：

(9)

数学形态学滤波算法属于非线性滤波方法，其在图像噪声抑制、边缘提取及目标检测等方面具有广泛的应用。

3 算法实现

在现实世界中，噪声普遍存在于观测量中，其来源可能为实际传感器的物理噪声，也可能对应于模型的不精确性等，这些噪声的存在导致混合矩阵的估计难度很大。因此，需要在运用独立分量分析算法之前，对数据通过数学形态学进行降噪预处理。同时，在应用独立分量分析进行噪声去除过程中，存在如何估计独立成分的无噪声实现这样一个问题，其中，加性噪声是因子分析和信号处理中常用的标准形式，具有简单的噪声模型表达式，噪声ICA模型可表示为：

X=AS+n

(10)

其中，n=[n1,…,nn]T是噪声向量。

从独立分量分析算法的角度看，噪音和图像数据之间一般是相互独立的，独立分量分析方法能够利用图像的高阶统计信息，获取与噪声数据相互独立的图像数据分量，从而将独立的噪声数据去除，并能很好地保持原有图像数据的完整性。Hyvarien等[5]认为多信号的独立分量是稀疏的，可以在ICA域中去除噪声，而且稀疏编码收缩方法对于非高斯信号被高斯信号污染的去噪处理非常有效。因此，基于噪声模型的不可逆性，需要引入新的方法来估计无噪声成分。为了得到良好的去噪效果，利用独立分量分析结合稀疏编码收缩法进行图像去噪，其算法流程如下。

1)记录随机生成的滑动窗口截取子图像块的位置 去噪结束后，要对去噪后图像进行恢复，此时，首先需要找出每个子图像所对应的实际位置。由于其截取的随机性，每个像素在每个子图像中都可能出现，因此，恢复时要对每个像素的多个恢复值取平均，用其作为该位置上的像素灰度值。

2)训练图像的获取 应用数学形态学方法对噪声图像进行初步去噪，以初步处理后获得的图像作为训练图像，并从中随机提取一系列8×8的训练子图像块，然后针对每个子图像块进行去均值和白化，并将子图像块按像素位置首尾相连构成一个1×64的列向量，以此作为无噪数据Z的一个列向量，实验中选取宠物狗图像的若干个这样的向量，形成一系列的训练样本数据集，作为输入样本。

3)估计稀疏变换矩阵W利用ICA算法处理训练数据Z，获得64×64维的图像块分离矩阵Wk，其也是训练图像块的64个基向量，Wk的每列为1×64的向量，对应一个8×8的基图像块，对分离矩阵Wk进行正交变换:

其中,W为所求稀疏变换矩阵。

(11)

其中,σ2为噪音的方差，可由对应每个集si的yi的平均绝对偏差乘以0.6475来估计；参数i和j可以通过下式估计：

(12)

(13)

其中,ps(0)是s为0时的密度函数的值;E{·}为均值运算。

通过下式计算含噪图像数据在变换基W下的投影y(t)：

y(t)=Wx(t)

(14)

其中,x(t)为含噪图像数据；t=1,2,…,T。

4 仿真结果

选择某宠物狗图像，通过上述算法进行去噪，结果如图2所示。

图2 宠物狗图像去噪仿真图

从图2可以看出，通过数学形态学方法预处理后，在对目标细节保护方面处理较好。ICA算法的去噪处理在平滑信号中锐变尖峰成份的同时尽可能地保留了一些突变点可能携带的重要信息，使其大体的轮廓信息得以保存。同时，去噪后宠物狗图像的高频成分得到了很大的保留，没有在去噪过程中随着噪声信号一起被去除。因此，该改进算法在消除噪声的效果方面能够较好地保持图像的基本信息和图像原有的视觉特性，能够最大程度地满足人类视觉要求。

5 结 语

通过对图像数据统计信息的计算，应用数学形态学方法对图像数据进行初步处理，然后通过ICA算法将处理后的图像数据投影到ICA域中，再利用稀疏编码收缩法对含噪图像进行去噪，最后，将去噪后的图像投影回图像空间，进而获得去噪后的图像，实现基于数学形态学、稀疏编码与独立分量分析的图像去噪。仿真结果表明，该改进方法在有效去除噪声的同时能有效保持图像的细节特征，有很好的实用性。

[1]斯华龄,张立明.智能视觉图像处理-多通道图像的无监督学习方法及其它方法[M].上海:上海科技教育出版社,2002.

[2] 杨福生,洪波.独立分量分析的原理与应用-信号与信息处理丛书[M].北京:清华大学出版社,2006.

[3] 马建仓,牛奕龙,陈海洋.盲信号处理[M].北京：国防工业出版社，2006.

[4] Mendel J M.Tutorial on higher order statistics in signal processing and system theory:Theoretical results and some applications[J].Proc IEEE,1991,79(3):278～305.

[5] Hyvarinen A,Hoyer P,Oja E.Sparse code shrinkage fordenoising[A].In Proc.IEEE Int.Joint Conf.on Neural Networks,Anchorage[C].Alaska,1998.859～864.