分光计相关实验中有效数字的处理办法

蒋卫建 方本民 陈守川

(浙江大学宁波理工学院公共基础部 浙江 宁波 315100)

1 引言

分光计是一种测量光线之间夹角的精密仪器，是光学实验中的一种基本仪器，其调整方法在光学实验中具有一定的通用性.所以物理实验课程中，通常设有多个使用分光计的实验，主要有用反射法或自准直法测量三棱镜顶角，利用光栅衍射测量原子谱线波长，利用最小偏向角测量色光折射率[1～2]等.在处理这些实验的结果时，要涉及到角度、分、秒的60进制、三角函数运算等.而大多数物理实验教材绪论示例中仅局限于加减乘除四则运算和一些简单情况下的有效数字处理问题的介绍.这样，很多同学对最终结果如何取舍有效数字多有疑虑.

本文以JJY1′分光计为例，说明相关实验中有效数字的处理办法.JJY1′分光计的仪器允许误差是1′[3].处理有效数字的原则是根据仪器允许误差估计出测量结果的不确定度，根据不确定度来取舍测量结果的有效数字.

2 测量三棱镜顶角

用反射法或自准直法多次测量三棱镜的顶角.在计算每次测量的顶角、顶角的平均值、标准差、不确定度时，要涉及到加减乘除、乘方开方运算.很多同学在运算过程中，将“分”化为“秒”来计算.因为“分”化为“秒”是60进制，所以通常所用的“单位换算不改变有效数字的位数”、“四舍六入五偶”的规则有时会碰到问题.

考虑到仪器的允许误差，那么计算结果只需要保留到与仪器允许误差相当的精度.根据JJY1′分光计的仪器允许误差是1′，估计测量顶角的不确定度ΔA=1′.这样，计算过程中可以避开引入“秒”这个单位，而始终采用“分”作单位，允许有小数.最终结果保留到“分”，中间结果可以多保留一位.例如，60°1.3′，79.5′等等. 如若要化为弧度计算，因为仪器允许误差为

所以结果只需保留到小数点后4位.

3 利用光栅衍射测量原子谱线波长

光栅方程是

dsinθ=kλ k=±1,±2,±3,…

其中d是光栅常量，k是衍射级别， θ是衍射角. 解出波长

测量衍射角即可计算波长.

多数物理实验教材给出波长的参考值，例如绿线546.1nm，要求同学将计算结果与参考值比较，计算百分差.同学对测量结果的不确定大小、有效数字如何取舍并不了解. 可以根据仪器允许误差来估算不确定度，从而确定有效数字的取舍办法.

例如，实验中光栅的光栅常量是

实验测得绿线的1级衍射角为

θ=9°26′

根据传播公式Δλ=dcosθ·Δθ 和仪器允许误差Δθ =1′ ，估计测量波长的不确定度为

Δλ=1.0nm

所以计算波长只需保留到0.1nm即可.最终结果可表示为

λ=(546.3±1.0)nm

也可以这样考虑，因为仪器允许误差为Δθ =1′，所以测量衍射角应该处于9°25′和9°27′ 之间.而

dsin9°25′=545.376nm

dsin9°26′=546.333nm

dsin9°27′=547.289nm

所以波长取为λ=546.3nm是合适的.

当然也要考虑光栅本身的分辨本领，其定义为

.

其中N是光栅条纹总数，可根据通光孔径22mm、光栅常量计算.由此估算光栅可分辨的最小波长差为

这比仪器允许误差带来的影响小一个数量级.

可以看到光栅常量越小、衍射级别越大、衍射角越大，则测量波长的不确定度就越小.也可以看到用

的光栅，可以分辨钠灯双黄线(589.0nm和589.6nm)，但若要较准确测量钠灯双黄线的波长，建议改用

的光栅，并选择高级别的干涉条纹测量.

4 利用最小偏向角测量色光折射率

测量折射率的公式是

其中A是三棱镜顶角， θmin是最小偏向角.同样，可以根据仪器允许误差来估算不确定度，从而确定有效数字的取舍办法.若测得绿线的θmin= 51°28′，三棱镜顶角A=60°1′.根据仪器允许误差Δθmin=1′,ΔA=1′ .对n求全微分，有

要得到不确定度传播公式，应将其中的微分符号“d”改为不确定度符号“Δ”，并将减号改为加号，结果有

将数值代入，得

Δn=0.000 5

所以，n的计算结果只需保留到小数点后4位即可.如最终结果表示为

n=1.652 6±0.000 5

实验所用的三棱镜材料为ZF1，对钠灯D线(λD=589.29nm)的折射率为

nD=1.647 5

对氢灯F线(λF=486.13nm)和C线(λC=656.28nm)折射率差为

nF-nC=0.019 12

可以看到折射率差0.019 12比分光计带来的不确定度0.000 5大很多，可用分光计测量各色光的折射率.

5 小结

本文以与分光计相关的实验为例，根据仪器的允许误差、不确定度传播公式可以估计结果的不确定度大小，从而确定计算过程和结果的有效数字处理办法.

参考文献

1 陈守川，杜金潮,等.新编大学物理实验教程(第二版).杭州：浙江大学出版社，2009.134～141，221～223，364～365

2 丁慎训，张连芳.物理实验教程(第三版).北京：清华大学出版社，2002.202～211，239～243