基于辩证法三大规律数学定理的系统评价理论、模型与方法——兼论集对分析及其评价方法<br/>

基于辩证法三大规律数学定理的系统评价理论、模型与方法——兼论集对分析及其评价方法

2010-03-19陈守煜

黑龙江大学工程学报 2010年4期

陈守煜

(大连理工大学建设工程学部,辽宁大连 116023)

0 引言

1965年札德提出模糊集合概念[1]是对康托普通集合论的重要突破,在数学思维上有重要科学意义。但札德模糊集是静态理论,难以描述模糊现象、事物、概念的动态可变性,存在研究理论与研究对象相悖的理论缺陷。1983年Atanassov提出札德模糊集定义的一个推广概念直觉模糊集[2],它同样是静态概念。笔者在20世纪90年代提出以动态模糊概念相对隶属函数为基础的系统模糊决策理论[3-4]、工程模糊集理论[5],并于21世纪伊始创建可变模糊集[6-15],首次给出长期没有解决用严密的数学定理表达唯物辩证法哲学规律的三大定理[16],是对札德静态模糊集概念、哲学规律数学化与数学思维辩证化的重要突破。

数学是一切科学的工具,当然它也应是哲学的工具。马克斯有句名言:一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步。自2005年笔者创建可变模糊集至今的5 a时间内,已经能够用严密的数学定理表示三大规律:对立统一、质量互变与否定的否定规律,对应的数学定理称为对立统一、质量互变与否定的否定定理,是数学应用于哲学的范例,对哲学数学化与数学思维辩证化均有重要科学意义。

本文根据可变模糊集导出的唯物辩证法三大规律数学定理,提出工程科学领域广泛存在的多指标、多级别、具有级别指标标准区间值综合评判问题的系统评价理论、模型与方法。它们是可变模糊集理论三大数学定理应用于工程科学领域的重要内容。由于唯物辩证法三大规律是自然界、社会、人类思维的普遍规律,因此表示三大规律的数学定理具有极为广宽的应用前景,本文提出的系统评价理论、模型与方法,只是其中的冰山一角,但它开启了在系统领域应用的先河,有重要的理论与实际意义。

1 基于可变模糊集的对立统一、质量互变与否定的否定定理简介[16]

1.1 对立模糊集定义

设论域U中的任意元素u的对立模糊概念(事物、现象)或u对立的基本模糊属性,以A与Ac表示。在参考连续统[5]区间 [1、0](对A)与[0、1](对Ac)的任一点上,对立模糊属性的相对隶属度分别为μA(u)、μAc(u),且:

令

图1 对立模糊集与对立统一定理示意图Fig.1 Sketch map of opposite fuzzy sets and theorem of opposites and unity

1.2 对立统一定理

或对立统一矛盾性质的渐变式转化点,如图1所示。

设

图2 相对差异函数示意图Fig.2 Sketch map of relative difference function

相对差异函数表示了参考连续统数轴上任意一点μA(u)与μAc(u)的相对差值,即对立模糊概念或对立基本模糊属性程度的差异。D(u)=0的pm点表示了对立双方或对立基本模糊属性达到动态平衡即渐变式质变点;D(u)=1、-1的pl、pr点表示了对立双方达到突变式质变点。

1.3 质量互变定理

设D(u)为论域U中任一元素u对A的相对差异函数,对u作变换C,变换前D(u)≠0,变换后的对立相对隶属函数与相对差异函数分别为与

1.3.1 如有不等式

则为渐变式质变。

1.3.2 如有等式则为突变式质变。

1.3.3 如有等式

则变化至动态平衡点,或渐变式质变的临界点,系统处于动态平衡状态。

1.3.4 如有不等式

则为量变。

渐变式质变不等式(5)、突变式质变等式(6)与渐变式质变点等式 (7)称为质变定理,量变不等式(8)称为量变定理,两者统称为质量互变定理。

1.4 否定的否定定理

由图2可见,D(u)从1变化到-1为一个周期,设有c个变化周期。

若变化为两个周期(c=2),变化后终了状态在pl点(Acc)即否定的否定,有D(C(u))= 1,则

若变化为c个周期,变化后终了状态在pr或pl点,即c次否定 (Ac⋰c)。则有:

当c=2时,对应于唯物辩证法哲学中否定的否定规律。故否定的否定定理可表示为:

2 系统评价理论与模型

设系统待评对象 u,根据已知的多个级别 h (h=1,2,…,c。c为级别总数,相当于c次否定定理式(9)),多个指标i(i=1,2,…,m,m为评价指数总数)的指标标准区间矩阵:

或

进行评价。式中aih、bih分别为级别h指标i标准值区间的上、下限值。式(11)相当于越小越优型指标,aih＜bih,式 (12)相当于越大越优型指标,。应当指出,为了系统评价的简便,区间上、下限值的定义与数学中区间定义略有区别。

根据对立统一定理,系统评价基本原理是:在已知级别h指标i特征值的相对差异度等于1矩阵:

的条件下,位于Dih与Di(h+1)的指标特征值ui,对级别h与(h+1)构成相对的对立模糊概念,根据对立统一定理有

式中μh(ui)、μh+1(ui)分别表示待评对象u指标i对级别h与(h+1)的相对隶属度。

设待评对象u指标i的特征值ui落入h与 (h +1)级相对差异度为1的D矩阵的区间 [Dih, Di(h+1)]内,则ui对h级的相对隶属度可简化为:

应用式(14)、式(15)可以计算待评对象u指标i的特征值对级别h与h+1的相对隶属度。根据文献 [14]Dih与aih、bih的关系式可以为:

系统是多指标综合评价问题,设已知指标权重向量为:

待评对象u对级别h的多指标i=1,2,…, m综合相对隶属度以表示,根据文献[16],可以为:

公式(18)满足对立统一定理与质量互变定理[16],用于计算确定待评对象u对级别h多指标i的综合相对隶属度。

若采用距离参数p=1即海明距离,式(18)变为:

式(19)是一个线性公式。如果系统综合评价为非线性系统,可采用 p=2即欧氏距离,式(18)变为

这是一个非线性公式。因此综合评价模型(18),只要改变距离参数p,既可用于线性系统评价,也可用于非线性系统评价,这是可变模糊集理论的一个特点或优点。

3 实例

为了比较与分析的方便,引用文献 [17]中的部分实例:综合评价宝鸡市 (u)地下水资源承载能力A。评价指标体系应用文献 [18]为:

1)地下水耕地灌溉率(地下水资源灌溉面积与耕地面积之比)u1/%;

2)地下水利用率 (现状年地下水供水量与可利用地下水资源总量之比)u2/%;

3)地下水开发利用程度 (现状年地下水供水量与地下水资源总量之比)u3/%;

4)供水模数 (地下水资源年供给量与土地面积之比)u4/(104m3/km2);

5)需水模数(现状年需水量与土地面积之比) u5/(104m3/km2);

6)重复利用率(重复用水量与总用水量之比) u6/%;

7)单位地下水人口负荷 (总人口数量与地下水年供给量之比)u7/(人/103m3);

8)生态环境需水负荷(生态环境用水量与总水量之比)u8/%。表1给出了宝鸡市指标值以及地下水资源承载力分级标准[17]。

表1 宝鸡市指标值与指标分级标准T able 1 Index values and index classification standard in Baoji

为了比较,采用文献 [17]指标权向量

应用提出的系统评价方法给出具体计算步骤如下:

1)确定级别h的指标i相对差异度为1的Dih矩阵。

应用公式 (16)与表1中的分级标准值,计算得到矩阵:

由表1可知u1=16.17,指标(1)落入指标相对差异度等于1的矩阵D的1、2级之间,即落入区间应用公式[15],i=1,h=1,得0.933,由对立统一定理公式 (14)μ12(u1)= 0.067。根据u1未落入＜h、＞(h+1)级,显然＜h、＞(h+1)级的指标相对隶属度为0,即()=0。则得指标(1)的相对隶属度向量为:

类似地,得到宝鸡市8项指标对3个级别的相对隶属度矩阵:

2)计算宝鸡市级别特征值。

应用综合相对隶属度公式 (18),为了与文献[17]进行比较,取p=1(海明距离)。根据上面矩阵得到归一化向量

计算级别特征值[5]

即宝鸡市地下水资源承载力在1级与2级之间。

根据矩阵D,宝鸡市8项评价指标有4项在1级,1项在3级,1项在1～2级,2项在2～3级,因此综合评价该市地下水资源承载力为1级与2级之间符合实际情况。

4 论集对分析及其评价法

文献 [17]根据集对分析[19]提出集对评价法,该法对宝鸡市地下水资源承载力的综合评价为1级,与本文方法评价结果有所差别,但这不是主要的。集对评价法的主要问题是该法的基础:1级评价标准集合B与评价样本集合A的集对H(A, B)K元联系度μ的数学定义式(5)*(式(5)*为文献[17]中的公式序号):

客观、实际上并不存在。

作者在文献[13]、[15]中曾先后指出,集对分析的“中介不确定性”概念,客观上不存在,而建立在集对分析“中介不确定性”概念基础上的数学定义式(5)*,客观实际上同样不存在。现论述如下:

在实际系统评价时,只能有两种情况:

1)评价指标体系中没有一项指标落入1级评价标准,此种情况最多只存在1级评价标准集合B的一个K元联系度μ(见文献[20]表4)。

2)指标体系中至少有一项指标落入1级评价标准,此时,有且仅有一个1级评价标准集合B的K元联系度μ,但不存在m个K元联系度μl,l =1,2,…,m。如第3节实例中8项评价指标,其中指标(3)至(6)4项指标落入指标分级标准的1级区间,指标(1)、(2)、(7)3项指标落入分级标准的2级区间,指标 (8)落入3级区间,根据集对评价法定义的1级评价标准集合B的K元联系度μ仅有一个,即:

根本不存在集对评价法数学定义式(5)*的m个K元联系度

作者在文献 [15]中指出:“科学研究成果需要考察其基础概念、理论,及其基础模型与基本方法是否符合唯物辩证法哲学基础,是否来源于客观现象与事物的实际。”文献 [21]指出:“数学世界是人的创造,但它是客观的。”因此脱离了客观实际的数学概念与定义,犹如无源之水,失去了科学性。由此集对分析的基础概念 “中介不确定性”,集对评价法基本原理中的基础数学定义式(5)*也就失去了科学与实际意义。

5 结语

文中基于可变模糊集的唯物辩证法三大基本规律的数学定理,提出系统评价的理论、模型与方法。由于三大规律数学定理的普遍性,故提出的评价理论、模型与方法,可用于众多系统(如工程系统、管理系统以及其他系统等)评价,即多指标(或多目标)、多级别,具有多级指标标准值或标准区间的综合评价问题,有着广泛的应用前景。

本文列举一个水资源系统综合评价的例子。并与集对分析评价法进行了比较与分析,指出集对分析及其评价法的基础数学定义客观实际上并不存在,失去了科学性。系统评价不仅要求评价结果符合实际,而且更要求评价理论 (或原理)、模型与方法的科学性。

文中对立统一、质量互变定理证明了客观事物变化中存在确定不变的中介点Pm(渐变式质变点)。文献[21]指出:“数学特别关心变化中不变的东西。…变化中不变的东西,往往是最重要的东西,刻画了变化的特性的东西。”对立统一与质量互变定理中D(u)=0不变的中介点Pm,正是变化中不变的东西。由此,可以从唯物辩证法哲学与数学两个方面说明:客观事物不存在集对分析所谓的 “中介不确定性”,因此描述它的不确定系数i是主观臆想的结果,不是思维对客观实际的正确反映,值得相关研究、技术人员,尤其是研究生们在论文选题中认真思考。

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