习题解答重在价值挖掘

张秋爽

习题在很大程度上承载着评价的任务：知识点是否清楚，数学思想方法是否掌握，是否会应用和拓展，能否迁移到新情景等等。下面这道习题我用列表给学生讲了很多年，自己倒是轻车熟路，但这样的重复对于学生和自身发展有益吗?仍旧在老路上行走、徘徊的滋味时时侵蚀着我。如何对习题进行恰当的引导，并不断变换新情景，对题目进行合理的创造，既让学生经历过程、体验方法，又领悟思想?如何找到学生旧知识中的生长点，将其延伸到其他的领域，让学生体会到举一反三的数学学习的价值?下面是我对这道习题处理的三次尝试和思考。

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[习题]两个数的和是10，这两个数的积最大是多少?

[第一次尝试]

三年级的学生拿到这个题目，有些学生觉得无从下手，有的学生经过一段时间尝试后能够得出：这两个数的积最大是25。

如何呈现学生的思考过程，让所有学生都明白呢?

师：两个数的和是10，这两个数分别是几?

生1：这两个数不确定，有很多的可能性。

师：可能是什么?

生2：可能是3和7，可能是2和8，可能是4和6，可能是1和9，还可能是5和5。

师：这么多的可能性，也记不住呀!谁能让大家记住这些可能性?

生3：这两个数可能是1和9，可能是2和8，可能是3和7，可能是4和6，还可能是5和5。

师：这样的有序表达能让大家记住，其实这就是有序思考的价值。

生4：这就是我们很小的时候学习的10的分解与组合。

师：你真会联系!数学就需要这种联系的方法来解决问题。那我们怎样写出来更清楚呢?

生5：我们列表吧，可以把这些答案一一呈现在眼前。

这样的题目，从学生已有的知识出发，让学生体会到数学知识之间是有联系的，旧知识是新知识学习的基础。在数学学习过程中，要学会有序思考，这样才能不遗漏、不重复；学会了思考还远远不够，更要学会表达，让别人看清楚自己思考的过程。尝试列表是一种非常重要的数学方法，为提升学生解决问题的能力提供了新的思路

[第二次尝试]

上面的解答让我欣喜过，在解题过程有学生对“有序思考”的诠释，有对旧知识的关注。难道这样的解答就能让所有的学生明白吗?学生的已有认知中只有“10的分解与组合”支撑他们对这道题的学习吗?

于是，我进行了第二次尝试，在学生理解题意的基础上。找出两个加数的可能性，让学生列表写出思考过程，找出了最大的积是25后，我又给学生呈现了《乘法口诀表》进行教学：

师：请你找出符合此题答案的乘法算式，说说这些算式有什么特点?

生1：这些算式有1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24和5×5=25。

生2：这些算式的积越来越大。

生3：一个因数越来越大，另一个越来越小，它们相加得10。

师：同样是相加得10的两个数，乘积有大有小。你们能判断出什么时候乘积比较大，什么时候乘积比较小吗?

总结：和一定，差小积大。

下面大家先看一个图，你看到了什么?

生4：我看到一个长方形的长是9，宽是1，面积是9；还看到一个正方形边长是5，面积是25。

师：你是从面积的角度来观察的。

生5：我看到长方形和正方形的周长相等，都是20，但是正方形的面积大。

师：所以“两个数的和是10，这两个数的积最大是多少?”这道题随着新知识的学习，又可以换成“两个周长相等的长方形和正方形，哪个图形的面积比较大?”其实，我们今天的这道题还可以转化为“周长都是20的长方形和正方形，哪个图形的面积比较大?”

在学生完成题目的解答之后，教师并没有停留在答案本身，而是从学生已有的知识中进行合理的建构——把学生倒背如流的乘法口诀进一步进行开掘，作为学生对这个结论理解的另一扇窗户，这样不仅沟通了知识间的内在联系，而且让学生觉得许多知识万变不离其宗。除此之外，学生思维的凭借有三种：一种是基于形象的思维，一种是基于动作的思维，一种是基于符号和逻辑的思维。这里考虑了学生思维的特点，运用数形结合的思想帮助学生对所学知识的理解，符合学生的认知特点。最令人欣喜的是教师能够挑出数论中的习题，和空间与图形领域巧妙结合，在变中求不变，从而帮助学生建立模型。

[第三次尝试]

学生会列表了，也能从原有认知中找到乘法口诀这个旧知识点作为进一步学习的支撑，在此基础上还运用了数形结合的思想让学生迁移到另一类有关周长一定、面积大小比较的问题。这些都是在教师引导下完成的。能不能让学生自己探究此类习题呢?

首先让学生独立思考，尝试用旧知识解决新问题，接着在小组内讨论。最后在全班交流。

有的学生真能想到用乘法口诀作为例证，说明“和一定，差小积大”；有的学生能列表枚举出所有的答案，还有的学生能用数形结合的方法画图来说明：当两个加数差最小时，积最大，当两个加数差最大时，积最小。

我们既然可以用二维(面积图)来诠释“和一定，差小积大”，能不能用一维的数直线来表示呢?

数直线虽然是一维，没有数形结合的形象直观，但是，数直线中这种对称的美让学生感受到也是不易的。没有这样的工具，学生根本体会不到。数学的本质是对数学美的追求，其中对称是数学美的核心。由此看来，这三次尝试，每次都有价值，每次都有拓展和新的视角，这对于学生来说是必要的。

做完题后：我们并没有满足学生会做这一道题，而是向这一类习题扩展和迁移。这是学数学的价值所在。于是我进行了又一次延伸的尝试：

师：“和一定，差小积大”这个规律只适用于表内乘法吗?你还能找出这样的一个算式来说明这个规律吗?

生1：11×9和12×8，这两个算式中因数的和都是20，因为11-9=2，12-8=4根据“和一定，差小积大”的规律，所以11×9>12×8。

师：这个例子举得好!会举例说明规律是理解规律或概念最重要的方法。我们的规律真的适合较大数相乘的大小比较吗?

生2：老师，肯定适合。这两个算式，我都口算过，11×9=99，12×8=96，和我们的规律是吻合的。我还能举出更大的数，如113×7和114×6。这两个算式中因数的和都是120，而113-7=106，114-6=108，所以113×7>114×6

生3：我还举了两位数乘两位数的例子。如23×57和24×56，这两个算式中因数的和相等，都是80，因为57-23=34，56--24=22根据“和一定。差小积大”的规律，所以23×57<24×56。

通过复习乘法口诀表，对笔算乘法进行了梳理沟通，并在乘法口诀表中发现新问题，提炼新方法，提升学生从不同的角度看问题的意识。由此可见，不断地尝试和探索，让教师不在习惯中行走，每一天都有新的想法，每种做法都有其独特的价值。

责任编辑：陈国庆