数学学习材料的主要类型及内涵

张卫星

数学学习过程实质上是人脑对学习材料感知、理解、分析和整合的过程。学习材料是学生解决数学问题、获得数学知识、提高数学能力的载体，是学生感受数学与生活的密切联系，体验数学价值，形成正确数学观的重要资源。学习材料主要包括教材中的课程资源与教材外拓展的课程资源，如主题情境图、数学问题、数学习题、教与学的操作材料等。教学中，组织不同的学习材料或对相同材料的不同组织，学生经历学习的过程截然不同，学习材料的选择和使用决定着学生对数学学习的兴趣、对数学知识的理解以及学习过程的生动性。而合理选择和使用学习材料的前提是对学习材料本身有一个深刻的认识。下面，笔者从学习材料之间的相互关系这一视角切入，与大家一起探讨数学学习材料的主要类型及内涵；

一、逻辑性材料——让学生理解数学规律

数学区别于其他学科最本质的东西是什么?那就是它的逻辑性。一个有逻辑性的学习材料不仅能使学生在学习过程中体验到数学逻辑的特性，更为重要的是它符合学生的认知发展规律。逻辑性学习材料，即学习材料之间存在一定的内在层次性和关联性，学习材料之间的素材基本相同，但同时又具有一定的递进性。逻辑性学习材料有助于促进学生对数学知识和数学规律的理解。

例如，一位教师在教学《搭配中的数学问题》时，先让学生充分探究“2件衣服，3条裤子的搭配方法”，之后并不急于概括搭配的一般方法，而是顺势改变例题的条件，为学生提供如下一组学习材料：

1如果有2件衣服，4条裤子，有几种搭配方法?

2如果有3件衣服，5条裤子，有几种搭配方法?

这组学习材料的设计，注重数学材料内在的层次性和逻辑性，利于学生自主探究、发现规律。当提供这组材料时，教师可以引导学生自主探索、积极思考，发现数学规律。由“2件衣服，3条裤子”的搭配到“2件衣服，4条裤子”以及“3件衣服，5条裤子”的搭配，这样拓展的目的不仅仅是为了让学生通过不完全归纳发现规律：衣服的件数×裤子的条数=搭配的总数，更为重要的是让学生较好地实现由具体问题向相应“数学模型”的过渡。

二、结构性材料——让学生认识数学本质

“结构”指的是相互关联的方式。数学教学中材料的“结构”是指材料在被使用时能揭示数学知识的本质。通俗地说，所谓结构性材料，指的就是教师经过精心设计的典型教学材料的组合，这些材料所呈现的问题情境可能不同，但问题的内部表征是一样的，主要是让学生在经历问题探究的过程中理解数学情境的本质结构。数学材料没有结构性，探究活动就无法典型、深刻和精致，教学目标特别是知识目标就仅是“点到”而非“达到”。因而，教师精心设计、选择、提供的结构性材料是探究活动得以开展的根本，是学生参与实践、自行探究的前提，对于实现有效探究与意义建构的统一具有枢纽性的作用，是促进学生形成数学素养的关键。

例如，一位教师在教学《100以内数的认识》时，经历了如下的教学片断：

师：我们班有几位小朋友，谁能领着大家数一数。(边点边数，数到47。)

师：刚才数人数时数到了47，还能接着数吗?(叫了几位学生接着往下数。最后全体学生一起往下数，数到100。)

师：请看一下你桌上的小棒或小豆子，你能估计出大约有多少吗?(同桌两人，一人是小棒，一人是豆子。)

生：100、23、88、50。(四名学生分剐回答。)

师：小朋友到底估得准不准，怎么办呢?

生：数一数。

师：用你喜欢的方式来数一数。(学生数数。)

师：你数出来的数与你估计的数接近吗?接近的请举手。

师：请每位小朋友想一想，怎么样能使别人一下子就能数出来?可以利用桌上的小袋子或牛皮筋。(学生操作活动。时间较长，有的学生10粒10粒一包，有的学生10根10根1捆，有的学生5粒5粒一包，还有学生4根4根一捆。)

教师展示部分学生作品：一位学生10粒10粒一包。一住学生是10根10根一捆，一位学生是3根3根一捆。还有一位学生是5粒、6粒、13粒、3粒，乱的。你觉得哪种方法数起来最方便?

生1：第一位同学10粒10粒一包，4包是40粒，还有3粒，是43粒。

生2：第二位同学10根10根一捆。3捆是30根，还有6根，是36根。

师：你们喜欢这两种方法吗?用这样的方法试一试。

教师通过大屏幕呈现一位学生的作品：52粒豆子，5个10和2个1舍起来是多少?

生：52。

教师用小棒呈现4个10和2个1，合起来是多少?

生：42

上述教学从数学生人数开始，初步感知100；再通过数小棒、数豆子等操作活动，来理解100以内各数是由几个“十”和几个“一”组成的。体会“满十进一”的进位制和数位的意义，在估数、数数活动中培养学生的数感。上述教学中，学生人数、小棒根数、豆子粒数都是学习材料，这些材料从表面上看好象没有联系，但这些材料的内在特征都是一样的，都是由几个“十”和几个“一”组成，通过操作活动可以使学生较好地理解学生人数、小棒根数、豆子粒数所蕴含的本质结构，从而培养学生的思维迁移能力。

三、系统性材料——让学生建构系统数学

数学是一门系统性很强的学科，各部分知识之间的纵横联系十分紧密。因此，能否根据知识的发生、发展规律构建系统性学习材料就成为数学教师的一种教学智慧。所谓系统性学习材料，就是根据数学知识的内在结构组织的学习材料，各学习材料之间联系紧密，所有学习材料围绕课题构成一个相对完整的知识系统。学生经过学习，能获得相对完整的数学知识及结构。从某种意义上说，系统性学习材料的实质也是一种结构性材料，但它的范围更深广，内涵更丰富。

例如，《工程问题》包含以下知识点：求合作完成整项工程的时间；求合作完成整项工程的几分之几；求合作完成部分工程后还乘下几分之几；求合作完成部分工程的时间。这四个知识点中最重要的是第一个知识点，即工程问题的基本模型1÷(1/a+1/b)，教学时就要围绕这一基本模型展开，其余知识点则在完成基本模型的建构后以变式的形式呈现。为此，笔者组织了以下学习材料：

1一条公路全长2400米，由甲工程队单独施工，需8天完成；由乙工程队单独施工，需12天完成。两队同时施工，需多少天完成?

2把“一条公路全长2400米”变成“一条公路全长600米”。

3把“一条公路全长600米”变成“一条公路全长200米”。

4把“一条公路全长200米”变成“一条公路全长12米”。

5把“一条公路全长12米”变成“一条公路全长a米”。

6把“一条公路全长a米”变成“一条公路”。

7把“需多少天完成?”变成“一起做3天完成这条公路的几分之几?”

8把“需多少天完成?”变成“舍做完成3天后，还剩下这条公路的几分之几?”

9把“需多少天完成?”变成“几天完成这项工程的3/5?”

10把“两队同时施工，需多少天完成?”变成“甲队先做3天，剩下的由乙队来完成，还需要多少天?”

上述10个学习材料都在同一情境中顺次展开，内在联系非常紧密。当学生完成这10个学习材料的学习后，对工程问题就有了一个比较系统的认识。

四、比较性材料——让学生厘清数学知识

著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”小学生学习数学知识，需要通过对数学材料的比较、分析来认识知识的形成过程，把握知识的来源，理解知识的内在联系与区别。因此，在小学数学教学过程中根据教材的特点恰当运用比较性学习材料，可以使学生顺利接受新知识，提高辨别能力，从而扎实地厘清并掌握数学知识，获得规律性认识。

例如，在教学《圆锥的体积》时，笔者经历了如下的教学片断：

师：请各小组从实验器材(两个圆柱容器和两个圆锥容器)中选一个圆柱容器和一个圆锥容器，利用圆柱容器、圆锥容器、水进行实验，共同探究圆柱体积与圆锥体积之间的关系。

6个小组展开合作实验：有的用圆锥装满水往圆柱里倒，有的用圆柱装满水再倒入圆锥，有的观察水的高度，有的记录实验数据。必须说明的是，其中三个小组使用的圆柱和圆锥分别是等底等高的。另外三个小组使用的分别是等底不等高、等高不等底、或底高均不相等的。

师：通过实验，你们有何发现?

组1：我们实验时，用圆锥三次装满水连续倒在圆柱里，圆柱正好装满。这说明圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

组2：我们用圆柱装满水往圆锥里倒，等到圆锥第三次装满水，圆柱里的水也正好倒完。这说明圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

组3：我们组实验的结果与前面两组基本一致。

组4：我们用圆锥三次装满水连续往圆柱里倒，圆柱并没有装满，所以，我们认为圆锥的体积不是圆柱体积的1/3。

组5：我们组实验时，用圆锥装满水往圆柱里倒，倒完第二次后圆柱就满了。

组6：我们还要快，圆锥第一次装满水倒入圆柱后。圆柱就满了。

师：根据这些实验组的汇报，我们可以把结论分成两大类：1、圆锥的体积是圆柱的三分之一；2、圆锥体积不是圆柱的的三分之一。这是怎么回事呢?同样的实验为什么会得到不同的结果呢?

学生陷入了沉思。开始对整个实验过程进行回顾。

生：是不是我们实验所用的圆柱和圆锥有什么差剐呢?

“一语惊醒梦中人”，学生开始用各种方式比较各组所用的圆柱和圆锥，也有的拿起尺子开始测量圆柱和圆锥的底和高……

上述教学中，学生使用的学习材料就是比较性学习材料。通过对这些比较性学习材料的操作与思考，学生可以真正厘清圆柱体积和圆锥体积之间的内在联系，从而真正理解圆锥体积公式的内涵。

五、整体性材料——让学生领悟数学内涵

教材是由一个个知识点组成的，其呈现方式是按照一定的知识序列逐一呈现的，但其蕴涵着极强的结构性。如果我们在使用教材时仍然按照教材中的知识序列对知识点一个个孤立地进行教学，那么具体的知识与抽象的结构性知识就无法有机结合，零星的知识就无法纳入完整的知识体系中。因此，教师在教学中要突破教材的束缚，学会从整体结构的高度分析和组织教材。所谓整体性材料，就是指从局部看学习材料之间好像没有什么联系。但是把这些材料整合在一起，通过一定的相互作用就可能形成一个整体并产生1+1>2的整体效应。

例如，在教学《三角形三边关系》时，一位教师经历了如下的教学片断：

师：如果用小棒来围三角形，要用几根?

生：3根。

师：请用你们手中的小棒摆一摆，看看能不能围成一个三角彤?(每捆小棒5根，分别由2厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的小棒组成。)

师(出示合作要求)：

1从所给的小棒中任意选择三根，共有几种选法?在纸上记录下来。

2判断所选择的三根小棒能够围成一个三角形吗?

3讨论能够围成三角形的三根小棒具有什么特点?

学生开始合作，教师巡视指导。

师：谁来汇报第一个问题?(生汇报，教师板书记录。)

师：上述选法中，哪些选法的结果不能围成三角形?

生1：选2厘米、2厘米、4厘米这三根小棒围不成。

生2：选2厘米、2厘米、5厘米这三根小棒围不成。

生3：选2厘米、3厘米、5厘米这三根小棒围不成。

师：现在，你们有什么话要说?

生：不能围成三角形的结果有两种，一种是两根小棒的长度之和与第三根小棒相等，另一种是两根小棒的长度之和比第三根小棒短。

师：那么，能围成三角形的三根小棒之间又有什么关系呢?

生：能围成三角形的三根小棒，任意两根小棒的长度之和大于第三根小棒。

师：你为什么要加上一个任意?能举例说说吗?

生：比如第一组小棒：2厘米+2厘米>3厘米；2厘米+3厘米>2厘米。因此，我认为能围成三角形的三根小棒，任意两根小棒的长度之和都大于第三根小棒。

师：你们听明白了吗?谁还能像他这样来说说能围成三角形的三根小棒之间的关系?(生回答。)

师：谁能用你所学过的知识来解释这一现象呢?

师：两点之间直线距离最短。

上述教学中的学习材料是一组小棒，这组小棒的长度分别是2厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米。这些小棒从表面上看好像没有什么联系，但通过操作活动却产生了整体效应：两根小棒长度之和小于第三根小棒不能围成三角形；两根小棒长度之和等于第三根小棒不能围成三角形；两根小棒长度之和大于第三根小棒才能围成三角形。在此基础上，让学生概括三角形的三边关系也就水到渠成了。可见，整体性学习材料必须要通过一定的整合与使用才能产生整体效能。

在异彩纷呈的学习材料中，我们应努力认清材料的本质，思考和挖掘每一个学习材料的数学价值，尽量将各种材料进行有机整合，发挥它们的最大价值，从而尽可能多地引导学生经历数学知识的发生、发展过程，使数学课堂充满生命活力。

责任编辑：陈国庆