利用物理模型解决弹簧类问题

马立收

(南宫中学 河北 南宫 055750)

弹簧问题经常出现在高考中，是由于弹簧和与其相连的物体构成的系统相互作用时涉及到的物理规律比较多、运动状态比较复杂、所给条件比较隐蔽.弹簧问题能考查学生分析物理过程、建立物理模型的能力，对学生思维能力和知识迁移能力的要求也比较高.

弹簧类问题题型多样，但用模型法分析弹簧与其相连的物体还是有章可循的.

1 弹簧与其相连的物体处于静止状态或匀速直线运动状态的模型

弹簧处于压缩或伸长时弹力沿弹簧方向，利用胡克定律和平衡条件是解决此类问题的基本方法.有时也利用弹簧的弹力不突变的特点来解题.

【例1】如图1，小球重为G，固定在半径为R的大环上.轻弹簧原长为L(L<2R)其劲度系数为κ，接触面光滑.求小球静止时弹簧与竖直方向的夹角α.

图1

图2

解析：以小球为研究对象，受力如图2.若在图1中弹簧处于压缩状态，则小球与环的弹力无论向里还是向外均无法平衡.所以弹簧一定处于伸长状态.由图2中F′在N、G的角平分线上，根据平衡条件：

F=2mgcosα

(1)

由胡克定律可得

F=κx=κ(2Rcosα-L)

(2)

由以上两式得

【例2】如图3所示，质量为m的小球在不可伸长的绳AC和轻弹簧BC作用下静止，且AC=BC，∠BAC=θ.突然在小球附近剪断绳子时，求小球的加速度.

图3

解析:小球平衡时水平方向

T1cosθ=T2cosθ

(3)

竖直方向

T1sinθ+T2sinθ=mg

(4)

由(3)、(4)式得

所以剪断后

得

方向沿AC向下.

图4

【例3】如图4，质量为m1、m2的木块用一根原长为L劲度系数为κ的轻弹簧相连，木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，现用一水平力向右拉木块2.

求:当两木块一起匀速运动时，两木块之间的距离.

解析:适当选取研究对象，利用平衡条件求解.

以木块1为研究对象

μm1g=κx

(5)

得

所以

2 弹簧与其相连的物体处于匀变速直线运动状态的模型

抓住运动过程中弹簧弹力为一变量的特征，充分挖掘隐含条件，利用牛顿运动定律和胡克定律解题.

【例4】劲度系数为κ的弹簧挂在天花板的O点，下端挂一质量为m的木块用托盘托着，使弹簧位于原长.然后使其以加速度a由静止开始匀加速下降，求物体匀加速下降的时间.

解析:以木块为研究对象，木块下降过程中弹簧弹力随x的增大而增大，托盘的支持力N之减小.

隐含条件：当N=0时为匀加速的末态，设此时弹簧伸长量为x，有

mg-κx=ma

(6)

(7)

由(6)、(7)式可得

3 弹簧与其相连的物体处于简谐运动(或简谐运动的一部分)的模型

弹簧与其相连的物体做简谐运动时具有对称性，利用简谐运动的对称性是解决此类问题的有效手段.

图5

【例5】如图5示，一质量为M的塑料球型容器，在A处与水平面接触.它的内部有一直立的轻弹簧，弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动.当加一向上的匀强电场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度，在振动的过程中球型容器对桌面的最小 压力为零.求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力.

解析：小球受重力、弹力和电场力，在竖直方向做简谐运动.要抓住简谐运动的对称性.

弹簧原长时有最大速度，即此位置为简谐运动的平衡位置，此时有

qE=mg

(8)

小球在最高点时，对容器有

κx=Mg

(9)

对小球有

F=mg+κx-qE

(10)

由(8)、(9)、(10)式得

F=Mg

即最大加速度为

由简谐运动的对称性知，小球在最低点和最高点具有大小相等的加速度.

在最低点时，对小球有

κx′-mg+qE=ma

得

κx′=Mg

此时容器对桌面有最大压力

FN=Mg+κx′=2Mg

图6

【例6】已知弹簧劲度系数为κ，物块重为m，弹簧立在水平面上，下端固定，上端固定一轻圆盘，物块放于盘中，如图6示.现给物块一个向下的压力F，当物块静止时撤去外力，在运动过程中物块正好不离开盘.求：

⑴给物块所加的向下的压力F；

⑵在运动过程中盘对物体的最大作用力.

解析： ⑴物块在竖直面内受重力、弹力的作用做简谐运动.由物块正好不离开盘(简谐运动的最高点)时，可知

N=0

弹簧恰处于原长，所以有

F向=mg

由对称性知最低点时

F向=κx-mg=mg

所以

κx=2mg

物块静止在最低点时

F+mg=κx

所以

F=mg

⑵在最低点时盘对物体的支持力最大，有

FN-mg=F向=mg

得FN=mg

显然，分析简谐运动的对称性是解决此类问题的关键所在.

【例7】一根轻弹簧竖直放在水平地面上，一个物体从高处自由下落到弹簧上部.当弹簧被压缩x0时物块速度变为零，物块的速率v随下降位移x的变化情况与图7中4个图像比较一致的是

图7

4 弹簧与其相连的物体处于非匀变速直线运动状态的模型

在此模型的问题中，弹簧的弹性势能和其他形式的能发生相互转化，考虑功能关系是解决此类问题的基本思路.

【例8】如图8，固定的水平光滑金属导轨间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向垂直于纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略.初始时刻弹簧恰处于自然状态，导体棒具有水平向右的初速度v0，在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持接触良好.问：

图8

⑴若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少？

⑵导体棒往复运动，最终将静止在何处？从导体棒开始运动到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q2为多少？

解析： 导体棒受弹力、安培力均为变力，运动过程较复杂，但从功能关系上考虑会有茅塞顿开的感觉.

⑴在这一过程中，弹性势能增加、动能减少.由功能关系可得

⑵由平衡条件可判断棒最终静止于初始位置.

由功能关系可得