对流扩散方程的非一致网格有限差分方法

曹广满,王彩华,齐海涛

(1.天津师范大学数学科学学院,天津 300387;2.天津大学电子信息科学学院,天津 300072)

对流扩散方程的非一致网格有限差分方法

曹广满1,王彩华1,齐海涛2

(1.天津师范大学数学科学学院,天津 300387;2.天津大学电子信息科学学院,天津 300072)

构造了一种二阶非等距网格差分格式,给出了截断误差及其稳定性.数值算例给出了几种不同网格处理情形下的计算结果,和已有的差分格式进行比较,表明新格式具有较好的平均误差分布.

离散差分格式;对流扩散问题;Taylor公式;非等距差分格式

对流扩散问题广泛应用于物理领域,例如电磁场理论、流体力学、弹性力学、量子力学、电子器件模拟、化学反应、控制理论及其他同类领域.其一般模型的形式为:

其中,u=u(x)为待求量,ε为正常数,α,β为边界值,并设a(x),b(x)和f(x)充分光滑.若假设a(x),b(x)满足a(x)≥η0＞0,a′(x)≥0,b(x)≥η1＞0,则式(1)可写为形式更一般的非齐次常微分方程边值问题:

对于上述问题的数值求解方法有很多,其中有限差分方法以其构造格式简捷、形成线性代数方程组较为容易因而研究最为广泛.目前文献较多给出的是等距网格剖分情形,如文献[2—5].文献[6]介绍了一种非等距网格剖分方法,文献[7]则给出了指数B样条构造方法等来处理这类两点边值问题.

本课题组针对对流扩散问题,从方程本身出发,反复求导并利用 Taylo r公式推导出了一类紧致差分格式,通过与大量差分格式的数值比较,验证了该差分格式有较高的精确性[8—10].但这些研究都是等距情形.本研究延用以前的思想,从式(3)出发构造出一种非等距二阶差分格式,该格式同时也可以在等距剖分下进行计算,最后利用所推导格式进行了数值算例求解.

1 非等距差分格式

考虑两点边值问题:

其中,u=u(x)为待求量,ε为一常数,α,β为边界值,并设A(x)＞0,f(x)充分光滑.

为进行数值比较,先给出等距情形下的中心差分格式.将区间I=[0,1]等距剖分为N等分,步长h=1/N,节点集为Ih:0=x0,x1,…,xN=1.记u0,u1,…,uN为方程(4)在剖分节点的准确值,U0,U1,…,UN为要采用的离散差分格式在剖分节点的计算值.由 Taylor公式有

2 几种非等距网格处理方法

1)简单分块均匀网格

先将区间I=[0,1]等距剖分为N等份,步长

例1两种差分格式最大误差见表1.

表1 数值算例1两种差分格式最大误差比较Table 1 Comparison of maximal errors of two finite difference schemes in numerical example 1

例2 奇异扰动边值问题

算例2两种等距差分格式最大误差见表2.

说明:表2给出的计算结果表明,在等距剖分情况下,本研究推导的格式与中心差分格式相比仍然具有较好的计算效果.

例3 两点边值问题例3在几种不同网格处理方法下的最大误差及平均误差见表3.

表2 数值算例2两种等距差分格式最大误差比较(N=32)Table 2 Comparison of maximal errors of two uniform finite difference schemes in numerical example 2(N=32)

表3 数值算例3在几种不同网格处理方法下的最大误差及平均误差比较(N=100,ε=10-2)Table 3 Com parison of maximal errorsand average errors of severalmesh schemes in numerical example 3(N=100,ε=10-2)

y100=1得到计算结果.例3几种差分格式均将区间分为100份.计算结果表明本研究格式无论是等步长还是变步长剖分处理,均得到了较好的计算效果.

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[8] 王彩华.含源定常对流扩散方程的高精度紧致差分格式[J].天津师范大学学报:自然科学版,2003,23(1):29-33.

[9] 王彩华.一维对流扩散方程的一类新型高精度紧致差分格式[J].水动力学研究与进展:A辑,2004,19(5):655-663.

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Non-un iform fin ite difference scheme method for convection-diffusion equations

CAO Guangman1,WANG Caihua1,Q I Haitao2

(1.College of Mathematical Science,Tianjin Normal University,Tianjin 300387,China;2.College of Electronic Information Science,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

A second-o rder non-uniform finite difference scheme is constructed,and the truncation error and its stability are given.Several different mesh methods are used to deal w ith the p roblem,and the results show that comparing with the existing finite difference schemes the non-unifo rm finite difference scheme illustrates a better distribution of the average error.

discrete difference scheme;convection-diffusion equations;Taylor formula;non-uniform finite difference scheme

O241.8

A

1671-1114(2010)01-0007-04

2009-09-20

国家自然科学基金资助(60876009);天津市应用基础及前言技术研究计划重点项目(09JCZDJC16600)

曹广满(1982—),男,硕士研究生.

王彩华(1973—),女,副教授,主要从事微分方程数值解方面的研究.

(责任编校 马新光)