生活中的逻辑与数学中的法则

陈士文

一、教材呈现

苏教版义务教育课程标准数学实验教科书(四年级上册)关于混合运算的前三个例题呈现如下。

(1)小军买3本笔记本和1个书包,一共用去多少钱?

(2)小晴买2盒水彩笔,付了50元,应找回多少元?

通过对两个问题的解答,得出:算式中有乘法和加法、减法,应先算乘法。

通过对情境中的问题以及“列综合算式计算1盒水彩笔比1支钢笔贵多少元”问题的解决,得出:算式中有除法和加、减法,应先算除法。

通过问题的解决,得出:算式里有括号,应先算括号里面的。

二、教学困惑

学生对于例1中“先算3本笔记本的价钱,再把它和书包的价钱合起来”以及例2中“先算1支钢笔的价钱,再把它和订书机的价钱合起来”的生活经验已经具备,自然会先算乘法或除法,这都是生活逻辑的反映。试想,如果教材先呈现例3的内容,当出现50-20÷5的综合算式时,生活的经验会使学生得出这样的结论:“算式中有除法和减法时,先算减法”。这样的教材编排、这样的教学设计给学生(甚至是教师)一个印象:是“先乘除,后加减”,还是“先加减,后乘除”?这是由教学素材呈现的顺序决定的。

我们曾经对34名小学数学教师进行问卷调查,他们对四则混合运算法则的规定持三种不同的观点。认为这是生活实践规律的有7人,认为这是人为约定俗成的有20人,认为这是数学内在原因的有7人。问卷的调查结果反映出教师对四则混合运算顺序规定的认识比较模糊。那么我们能否重新编排教材呢?

三、教材设想

第一课时

观察第一个方框,我们发现:减法是加法的逆运算。

观察第二个方框,我们发现:除法是乘法的逆运算。

观察第三个方框,我们发现:乘法是加法的简便运算。

得出:加、减是低级运算,乘、除是高级运算。

12+12+12+12+9=12×4+9,我们在计算12×4+9时,先算什么?后算什么?

12+12+12+12-9=12×4-9,我们在计算12×4-9时,先算什么?后算什么?

108+23+23+23+23=108+23×4,我们在计算108+23×4时,先算什么?后算什么?

108-23-23-23-23=108-23×4,我们在计算108-23×4时,先算什么?后算什么?

得出:算式中有乘法和加、减法,应先算乘法。

我们已经知道除法是乘法的逆运算,因此,算式中有除法和加、减法,应先算除法。

第二课时

教材中的例1、例2、例3。

第三课时

相关练习(略)。

四、设计意图

第一课时的教学通过三个方框的观察思考使学生从整体上理解加、减、乘、除之间的内在联系,即减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,乘法是加法的“提升”和“简便”。接着通过一组算式的改写,得出结论:算式中有乘法和加、减法,应先算乘法。又由于前面有了“加、减是低级运算,乘、除是高级运算”的教学,再次引导学生得出:算式中有除法和加、减法,应先算除法。最终自然形成初步完整的法则:先乘除,后加减。

第二课时通过第1例、第2例的教学让学生感悟到生活中的问题是与数学的法则相吻合的,接着教学第3例,此时学生发现:生活中有些问题是按照“先加减,后乘除”的逻辑顺序,因为前面有了“先乘除,后加减”的法则规定,而法则是不能违背生活逻辑的,于是对原先“先乘除,后加减”的法则作出补充规定,即引进“括号”,说明算式中有括号的应先算括号里面的。

第三课时组织相关的练习,巩固强化法则的运用。

至此,我们可对问卷中关于为什么规定“先乘除,后加减,有括号先算括号里面的”的原因作出如下回答:

因为乘除法是加减法的高级运算,所以要先乘除后加减,由于有些具体的实践问题需要先加减,则用括号,此时先算括号里面的,括号的作用是对“先乘除,后加减”法则的特别补充。一句话,四则混合运算法则是数学自身内在体系科学运行的必然,又通过括号的介入,使之符合生活的逻辑。