浅谈微积分发展史

吕志军

摘要本文从对“数学”这一概念的定义出发,向大家阐述了微积分发展的历史:我们可以知道客观的社会需求和科学研究的需要,促使了微积分的产生和发展,并不断的深入和扩展。

关键词正流数学反流数学流量流数

中图分类号:O172文献标识码:A

1 微积分的创立

牛顿是一位伟大的科学家,在数学、力学、物理学、天文学、化学和自然哲学方面都有突出贡献。有关他的传记和成果的介绍不胜枚举,任何一本数学通史专著都必然提到牛顿,他的影响是划时代的,仅就数学而言,他创立的微积分就已成为现代数学的主干。

据牛顿自述,他于1665年11月发明正流数学(微分法)。1666年5月建立反流数学(积分法)。1666年10月写成一篇总结性论文,在朋友和同事中传阅,现以《1666年10月流数简论》著称。这是历史上第一篇系统的微积分文献。

牛顿提出流数的基本问题是:(a)设有二个或更多物体A, B, C……在同一时刻描画线段x,y,z……。己知表示这些线段关系的方程,求它的速度p,q,r……的关系。(b)己知表示线段x和运动速度p,q之比p/q的关系方程式,求另一线段y。对于问题a,首先将所有的项移到方程的一边,成为多项式,使其和等于0,例如牛顿给出的解释相当于。为了证明这一结果,牛顿采用时间的无穷小瞬的概念,指出若在某一瞬己描画的是和,则到下一瞬他们将变成和,以和代换方程中的和。例如方程。代换后展开得消去和为零的项,并以除余下的项得。此时牛顿指出“其中含的那些项为无限小”略之得即为解。

牛顿后来引入了被普遍使用的流数记号,即用带点的字母表示其流数。例如上例中用表示,表示,则上式结果可记为--2d相当于分别对和求导。

牛顿将正反微分运算应用于16类问题,展示了牛顿算法的普遍性与系统性。

1669年牛顿完成《运用无穷多项式方程的分析学》,重申“微积分基本定理”,广泛地利用无穷级数做工具,给出求曲线下面积的一般方法,并发现若干函数的无穷级数展开式。

1671年,牛顿完成专著《流数法与无穷级数》,首次使用“流数”这一术语。其中称连续变动的量为“流量”,称这些流量的变化率(导数)为“流数”,于是这一新学科就被称为“流数术”或“流数法”。

1687年,牛顿的名著《自然哲学之数学原理》出版,首次公开表述了他的微积分方法。此时距他创造微积分己过去22年。全书没有明显的分析形式的微积分运算,而是以综合语言写成。牛顿推崇说:“几何学的荣耀在于,它从别处借用很少的原理,就能产生如此众多的成就。”他首先建立了“首末比方法”,即借助几何解释把流数理解为增量消失时获得的最终比,相当于求函数自变量与应变量变化之比的极限,这是极限方法的先导。由此引导出微积分方法,并用于引力,流体阻力,声,光,潮汐,慧星乃至宇宙体系,充分显示了这一新数学工具的威力,为微积分的应用开辟了广阔前景。

莱布尼茨与牛顿有许多相似之处:都是名垂青史的哲学家,都是对多种学科有重大贡献的学者,都是当时各自国家科学界的领袖人物,都是一生未婚,都很爱国,逝后都被塑像供后人瞻仰。其中最相似的贡献就是几乎同时各自独立地发明了微积分。

1666年莱布尼茨写成《论组合术》,讨论平方数列的性质。例如其一阶差为奇数列,二阶差恒为2,三阶差就“消失”。他用x表示序列中项的次序,用y表示这一项的值,接着讨论了多种组合性质。这是莱布尼茨写的第一篇数学论文,其优良的符号用法,函数对应思想以及求差分的思想为以后微积分创作奠定了基础。

1684年莱布尼茨在《学艺》杂志上第一次发表了他的微分学论文,时间上比牛顿的《原理》早了3年,这使该文成为世界上最早公开出版的微积分文献。全文仅6页名字却很长,一般简译为《一种求极大极小和切线的新方法》,其中含有现本微分法则,给出极值的条件及拐点的条件等结果。1686年莱布尼茨又在同一杂志上第一次发表他的积分学论文《深奥的几何与不可分量和无限的分析》,其中指出如果则。他还用积分举出超曲线的例子,如正矢曲线,或旋转轮线,并以能用一个议程表示超曲线而满意。

1693年莱布尼茨在发表的文章中更清楚地阐述了微分与积分的关系,表明他已纯熟地掌握了微积分的原理,他还给出了求一族曲线包络的普遍方法,研究了无穷级数和微分方程,对微积分的应用做出了贡献。

经过牛顿和莱布尼茨之手,微分方法不再是古希腊几何学的附庸和延展,而成为一门独立的科学,可以处理更广泛的问题。

18世纪的主要工作是微分的应用,即分析学的发展。但人们在应用微积分之前首先要扩展微积分本身,由直观和物理见解指引的形式有了很大的发展。数学家对微积分及随后产生的分支作了技巧高超的处理。18世纪解决了许多问题,微积分理论基础问题是由于微积分先天不足带来的,其促进了微积分的健康发展。

欧洲大陆的学者很快接受了莱布尼茨的优越符号,在伯奴家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人的努力下很快获得丰硕的研究成果,引导了近代数学的发展。

18世纪的几乎每一位数学家都对微积分的逻辑基础作了一些努力,或者至少是讲了一些这方面的话,但是所有努力均无最后结果,直到19世纪这一状况才开始改变。

2 分析基础的确立

分析严密化最终是通过算术途径达到的,最先对分析算术做出贡献的是捷克数学家、哲学家、逻辑学家波尔查诺。

1817年波尔查诺的名著《纯粹分析的证明》出版。其中证明了下面的原理:如果对于两个连续函数和%停有＜%停且%停则有x介于。和刀之间,使<%汀8枚ㄒ宓谝淮吻宄地表明连续性概念的基础存在于极限概念之中U飧龆ㄒ逵肟挛骱罄锤出的连续性定义并无实质区别2ǘ查诺证明了多项式函数是连续的，还试图为代数基本定理给出一个纯算术的证明?

1834年波尔查诺写作《函数论》,第一个把的导数定义为自变量的增量趋向于0时,增量比值无限接近的趋向的量,进一步对极限概念的性质作了深入探讨,强调不是与比值,也不是两个零的商,还不是两个消失了的量的比,而是前面提出的比趋近一个数,相当于描述函数的记号。他说明有几何或物理直观造成的印象并不可靠,连续函数未必都有导数。现在这己成为分析学中的常识。

柯西在其始代表论著《分析教程第一编·代数分析》中给出从变量开始直到函数连续较为严格的定义。在其《无限小计算教程概论》中用与波尔查诺同类的办法定义了连续函数的导数,给出了对定积分最系统的开创性工作,对连续函数给出定积分作为和的极限的确切定义:如果区间[]为x的值LL所分割,假设在[]上连续,分割后最大子区间的长度趋于零,则在区间[]上的积分是|)。他接着定义函数,并且证明了在上连续,令,并且用微分中值定理,证明了,得到微积分基本定理。

阿贝尔是19世纪分析严格化的倡导者和推动者。在1826年克雷尔的《纯粹与应用数学杂志》阿贝尔发表文章中的一篇中改正了柯西关于“连续函数的一个收敛级数的和一定是连续函数的错误结论,并用一直收敛的思想正确的证明了:连续函数的一个一致连续收敛的和在收敛区域内部是连续的。他还得到一些无穷级数的收敛判别准则以及关于幂级数求和的定理。

19世纪在分析学严密性的论证中,这些著名的数学家的工作迫使许多数学家改写原来的著作,将微积分从几何概念、运动和直觉中解放出来。但这并不意味着分析基础研究的终结。因为严密性所倚赖的实系数尚未严格定义,连续函数不可导与不连续函数可积分的例子尚无完满解释,某些严格分析排除的发散级数也有物理意义。然而这一切正是分析学继续发展的动力,导致现代分析学的突进。

3 总结与展望

纵观微积分发展史,我们可以了解到,实验科学的兴起促进了数学的发展,原有的数学知识无法满足现实的科学研究是微积分产生和不断发展的源动力,如今进入21世纪,随着人类在太空领域,微电子领域生物等等领域研究的不断深入,将促使人们不断地继续拓展和深入微积分知识,微积分知识将在越来越多的领域得到更为深入和广泛的应用。